Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями y=2x^2;y=x+1​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Надо построить графики функций , и найти площадь с помощью определённого интеграла

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = 2x^2 та y = x + 1, спочатку потрібно знайти точки їх перетину. Для цього рівняємо обидві рівняння:

2x^2 = x + 1

Перенесемо все у ліву частину рівняння:

2x^2 - x - 1 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Використовуючи квадратне рівняння, отримаємо два розв'язки для x. Позначимо їх як x1 та x2.

Після знаходження значень x1 та x2 підставимо їх у рівняння y = 2x^2 та y = x + 1, відповідно, щоб знайти відповідні значення y1 та y2.

Тепер, щоб знайти площу фігури, ми можемо використовувати формулу для площі між двома кривими:

S = ∫[a, b] (y2 - y1) dx

де a та b - це значення x1 та x2, відповідно.

Знаходження точок перетину

Розв'язуємо квадратне рівняння 2x^2 - x - 1 = 0. Використовуємо квадратну формулу:

x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку, a = 2, b = -1, c = -1. Підставляємо ці значення в формулу:

x1,2 = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(2)(-1))) / (2(2)) = (1 ± √(1 + 8)) / 4 = (1 ± √9) / 4 = (1 ± 3) / 4

Таким чином, x1 = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1, а x2 = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2.

Знаходження значень y

Підставляємо значення x1 = 1 та x2 = -1/2 у рівняння y = 2x^2 та y = x + 1:

Для x1 = 1: y1 = 2(1)^2 = 2

Для x2 = -1/2: y2 = (-1/2) + 1 = 1/2

Знаходження площі фігури

Тепер, ми можемо використовувати формулу для площі між двома кривими:

S = ∫[a, b] (y2 - y1) dx

У нашому випадку, a = -1/2, b = 1. Підставляємо значення y1 та y2:

S = ∫[-1/2, 1] ((1/2) - 2) dx = ∫[-1/2, 1] (-3/2) dx = (-3/2) ∫[-1/2, 1] dx

Інтегруємо: S = (-3/2) [x]_(-1/2)^1 = (-3/2) [(1) - (-1/2)] = (-3/2) (3/2) = -9/4

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 2x^2 та y = x + 1, становить -9/4.