Question

В урне 10 белых и 10 черных шаров. Все шары из урны извлекаются парами, причем вынутые шары обратно не возвращают. Какова вероятность того, что все пары будут состоять из разноцветных шаров.

Answer 1

Пусть $A_k$ (k = 1,2,...,n) - k-ая пара состоит из разноцветных шаров.

Вероятность выбрать первую пару из разноцветных шаров равна

$P(A_1)=\dfrac{10\cdot 10}{C^2_{20}}$

В урне остается 9 белых и 9 черных шаров. Вероятность выбрать вторую пару из разноцветных шаров равна

$P(A_2)=\dfrac{9\cdot 9}{C^2_{18}}$

Вероятность выбрать третью пару из разноцветных шаров равна

$P(A_3)=\dfrac{8\cdot8}{C^2_{16}}$

...

...

...

Вероятность выбрать девятую пару из разноцветных шаров, равна

$P(A_9)=\dfrac{2\cdot 2}{C^2_4}$

Вероятность выбрать десятую пару из разноцветных шаров, равна

$P(A_{10})=\dfrac{1\cdot 1}{C^2_2}$

Искомая вероятность по теореме умножения

$P=\dfrac{10^2}{C^2_{20}}\cdot \dfrac{9^2}{C^2_{18}}\cdot \dfrac{8^2}{C^2_{16}}\cdot ...\cdot \dfrac{2^2}{C^2_4}\cdot \dfrac{1^2}{C^2_2}=\dfrac{2^{10}\cdot (10!)^2}{(2\cdot 10)!}=\dfrac{2^{10}\cdot (10!)^2}{20!}$

Ответ:   $\dfrac{2^{10}\cdot (10!)^2}{20!}$.

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что все пары, извлекаемые из урны, будут состоять из разноцветных шаров, давайте рассмотрим следующий способ:

Первый шар можно выбрать из 20 доступных (10 белых и 10 черных).

После выбора первого шара останется 19 шаров в урне, и только 9 из них будут иметь тот же цвет, что и первый шар (10 белых и 9 черных, или 10 черных и 9 белых, в зависимости от выбранного цвета первого шара).

Таким образом, вероятность выбора второго шара такого цвета, чтобы пара была разноцветной, составит 9/19.

Поскольку эти два события независимы, мы можем перемножить вероятности:

(10/20) * (9/19) = (1/2) * (9/19) = 9/38.

Итак, вероятность того, что все пары будут состоять из разноцветных шаров, равна 9/38.