Question

Решите тригонометрическое неравенство cos²x - sin²x ≥1/2

Answer 1

cos²x - sin²x ≥1/2

cos 2x ≥1/2

-π/3+2πk ≤ 2x ≤ π/3+2πk

-π/6+πk ≤ x ≤ π/6+πk, k∈Z

Answer 2

Для решения тригонометрического неравенства cos²x - sin²x ≥ 1/2, мы можем воспользоваться идентичностью двойного угла для косинуса:

cos(2x) = cos²x - sin²x

Таким образом, наше неравенство можно переписать как:

cos(2x) ≥ 1/2

Далее, мы можем найти значения x, удовлетворяющие этому неравенству, и затем вернуться к исходному неравенству, учитывая, что cos(2x) = cos²x - sin²x. Начнем с поиска решений для cos(2x) ≥ 1/2:

cos(2x) ≥ 1/2

Чтобы найти x, мы можем воспользоваться обратной функцией косинуса:

2x ≥ arccos(1/2)

2x ≥ π/3

Теперь разделим обе стороны на 2:

x ≥ (π/3) / 2

x ≥ π/6

Таким образом, решение неравенства cos(2x) ≥ 1/2 - это x ≥ π/6.

Теперь вернемся к исходному неравенству:

cos²x - sin²x ≥ 1/2

Используя идентичность cos(2x) = cos²x - sin²x, мы имеем:

cos(2x) ≥ 1/2

x ≥ π/6

Таким образом, решение исходного тригонометрического неравенства cos²x - sin²x ≥ 1/2 - это x ≥ π/6.