Question

Решите уравнение а) (х+1)(х²-х+1)-х(х+2)(х-2)=3 б) х³-8=2х(х-2)

Answer 1

a) (х+1)(х²-х+1)-х(х+2)(х-2)=3

x³+1-x (x²-4)=3

x³+1-x³-4x=3

1+4x=3

4x=2

x=1/2

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

a) (x+1)(x²-x+1) - x(x+2)(x-2) = 3

Сначала умножим многочлены и упростим уравнение:

(x+1)(x²-x+1) - x(x+2)(x-2) = 3

(x³ - x² + x) - (x³ - 2x² + 4x) = 3

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

x³ - x² + x - x³ + 2x² - 4x = 3

Сократим подобные члены:

x² - 3x - 4 = 3

Теперь приравняем правую сторону к 0 и решим квадратное уравнение:

x² - 3x - 4 - 3 = 0

x² - 3x - 7 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение или дискриминант. Дискриминант (D) равен:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = -3, и c = -7. Теперь найдем D:

D = (-3)² - 4(1)(-7) = 9 + 28 = 37

D положительный, поэтому у нас есть два корня:

x₁ = (-b + √D) / (2a) x₁ = (3 + √37) / 2

x₂ = (-b - √D) / (2a) x₂ = (3 - √37) / 2

Итак, уравнение a) имеет два корня:

x₁ = (3 + √37) / 2 x₂ = (3 - √37) / 2

Теперь рассмотрим уравнение б) х³ - 8 = 2x(x-2):

b) x³ - 8 = 2x(x-2)

Сначала упростим уравнение:

x³ - 8 = 2x² - 4x

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

x³ - 2x² + 4x - 8 = 0

Теперь у нас есть кубическое уравнение. Для его решения можно воспользоваться различными методами, но в данном случае можно заметить, что x = 2 является одним из его корней. Это можно проверить, подставив x = 2 в уравнение:

(2)³ - 2(2)² + 4(2) - 8 = 8 - 8 + 8 - 8 = 0

Таким образом, x = 2 - один из корней этого уравнения. Далее, мы можем поделить уравнение на (x - 2), чтобы найти квадратное уравнение:

(x³ - 2x² + 4x - 8) / (x - 2) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

x² + 2x + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1, b = 2, c = 4

D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12

Дискриминант отрицателен, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Однако оно имеет комплексные корни:

x₁ = (-b + √(-12)) / (2a) x₂ = (-b - √(-12)) / (2a)

x₁ = (-2 + 2i√3) / 2 = -1 + i√3 x₂ = (-2 - 2i√3) / 2 = -1 - i√3

Таким образом, уравнение б) имеет два комплексных корня:

x₁ = -1 + i√3 x₂ = -1 - i√3

Пожалуйста, обратите внимание, что в комплексных числах "i" обозначает мнимую единицу, а "√" обозначает квадратный корень.