Question

Вычислить производную функции y= arcsin x-1 / x

Answer 1

Ответ:

$y=arcsin\frac{x-1}{x}\\ y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x-1}{x})^2 } }*\frac{x-(x-1)}{x^2} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x-1}{x})^2 } }*\frac{1}{x^2}$

Объяснение:

Answer 2

Для вычисления производной функции $y = \frac{\arcsin(x)}{x} - 1$ по $x$, мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила) и правилом дифференцирования частного.

1. Начнем с функции $u(x) = \arcsin(x)$, для которой известно, что $u'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

2. Теперь рассмотрим функцию $v(x) = x$, для которой $v'(x) = 1$.

3. После этого применяем правило дифференцирования сложной функции для $\frac{\arcsin(x)}{x}$:

$\frac{d}{dx} \left(\frac{\arcsin(x)}{x}\right) = \frac{1}{x} \cdot u'(x) - \arcsin(x) \cdot \frac{1}{x^2}$

4. Теперь вычисляем производную для $y = \frac{\arcsin(x)}{x} - 1$:

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{\arcsin(x)}{x^2}$

5. Далее можно упростить это выражение, если нужно:

$y' = \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} - \frac{\arcsin(x)}{x^2}$

Это является производной функции $y$ относительно $x$.