Question

Найти точки экстремума y=2x(1-3x)^3

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции y=2x(1-3x)^3, нужно найти ее производные и приравнять их к нулю.

Сначала найдем производную функции по переменной x. Для этого используем правило дифференцирования произведения функций и правило дифференцирования степенной функции:

y' = 2(1-3x)^3 + 2x * 3(1-3x)^2 * (-3) = 2(1-3x)^3 - 18x(1-3x)^2 = (1-3x)^2 (2(1-3x) - 18x) = (1-3x)^2(2-6x - 18x) = (1-3x)^2(2-24x)

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

(1-3x)^2(2-24x) = 0

Для этого уравнения есть два случая:

1) (1-3x)^2 = 0 Решение этого уравнения: 1-3x = 0 3x = 1 x = 1/3

2) 2-24x = 0 Решение этого уравнения: -24x = -2 x = -2/-24 x = 1/12

Таким образом, точки экстремума функции y=2x(1-3x)^3 находятся при x = 1/3 и x = 1/12.

Если мы хотим найти значения y в этих точках, подставим найденные значения x обратно в исходную функцию:

Для x = 1/3: y = 2*(1/3)*(1-3*(1/3))^3 = 2*(1/3)*(1-1)^3 = 2*(1/3)*0^3 = 2*0 = 0

Таким образом, точка экстремума при x = 1/3 имеет координаты (1/3, 0).

Для x = 1/12: y = 2*(1/12)*(1-3*(1/12))^3 = 2*(1/12)*(1-1/4)^3 = 2*(1/12)*(3/4)^3 = 2*(1/12)*(27/64) = 54/768 = 9/128

Таким образом, точка экстремума при x = 1/12 имеет координаты (1/12, 9/128).

Итак, точки экстремума функции y=2x(1-3x)^3 равны (1/3, 0) и (1/12, 9/128).