Question

Знайти похідні 1)y=cos x^3 2) y=1/(√1-x^2) СРОЧНО

Answer 1

$1)\; \; y=cosx^3\\\\y'=-sinx^3\cdot (x^3)'=-sinx^3\cdot 3x^2\\\\2)\; \; y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \; ,\; \; (\frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^2}\\\\y'=-\frac{(\sqrt{1-x^2})'}{1-x^2}=-\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (1-x^2)'}{1-x^2}=\frac{-2x}{2\sqrt{(1-x^2)^3}}=-\frac{x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}$

Answer 2

1) Для знаходження похідної функції y = cos(x^3 + 2) скористаємося правилом диференціювання композиції функцій. Запишемо дану функцію як y = f(g(x)), де f(u) = cos(u) та g(x) = x^3 + 2.

Знайдемо похідну функції f(u) = cos(u) за правилом диференціювання тригонометричних функцій:

f'(u) = -sin(u)

Тепер знайдемо похідну функції g(x) = x^3 + 2 за правилом диференціювання мономіальних функцій:

g'(x) = 3x^2

Застосуємо правило диференціювання композиції функцій:

(dy/dx) = (df/du) * (du/dx)

де (dy/dx) - шукана похідна функції y відносно x, (df/du) - похідна функції f(u) відносно u, (du/dx) - похідна функції g(x) відносно x.

Підставимо відповідні значення:

(dy/dx) = f'(u) * g'(x) = -sin(u) * 3x^2

У нашому випадку u = x^3 + 2, тому:

(dy/dx) = -sin(x^3 + 2) * 3x^2

2) Для знаходження похідної функції y = 1/(√(1 - x^2)) скористаємося правилом диференціювання обернених функцій. Запишемо дану функцію як y = f(g(x)), де f(u) = 1/√u та g(x) = 1 - x^2.

Знайдемо похідну функції f(u) = 1/√u за правилом диференціювання функцій з використанням ланцюжкового правила:

f'(u) = (-1/2) * u^(-3/2)

Тепер знайдемо похідну функції g(x) = 1 - x^2 за правилом диференціювання мономіальних функцій:

g'(x) = -2x

Застосуємо правило диференціювання оберненої функції:

(dy/dx) = (df/du) * (du/dx)

де (dy/dx) - шукана похідна функції y відносно x, (df/du) - похідна функції f(u) відносно u, (du/dx) - похідна функції g(x) відносно x.

Підставимо відповідні значення:

(dy/dx) = f'(u) * g'(x) = (-1/2) * u^(-3/2) * (-2x)

У нашому випадку u = 1 - x^2, тому:

(dy/dx) = (-1/2) * (1 - x^2)^(-3/2) * (-2x)

Таким чином, отримали похідну функції y = 1/(√(1 - x^2)) за допомогою правил диференціювання обернених функцій.