Question

Найдите значение выражения a²+b²+c², если a-b+c=8 и ac-ab-bc=12

Answer 1

a-b+c=8

(a-b+c)² = 8²

(a-b)² + 2·(a-b)·c + c² = 64

a²-2ab+b² + 2ac - 2bc + c² = 64

(a² + b² + c²) + (2ac - 2ab - 2bc ) = 64

(a² + b² + c²) + 2·(ac - ab - bc ) = 64

Подставим ac-ab-bc = 12 и получим:

(a² + b² + c²) + 2· 12 = 64

(a² + b² + c²) + 24 = 64

(a² + b² + c²) = 64 - 24

a² + b² + c² = 40

Ответ: 40

Answer 2

Для нахождения значения выражения a² + b² + c², когда даны уравнения a - b + c = 8 и ac - ab - bc = 12, мы можем воспользоваться методом квадратного уравнения.

Сначала выразим одну из переменных через другие. Давайте выразим, например, переменную a через b и c из первого уравнения:

a = 8 - b + c

Теперь подставим это выражение для a во второе уравнение:

(8 - b + c)c - (8 - b + c)b - bc = 12

Упростим уравнение:

8c - bc + c² - 8b + bc - bc = 12

Теперь у нас есть уравнение только с переменными b и c:

c² - 8b + 8c - 2bc = 12

Перегруппируем члены:

c² - 2bc + 8c - 8b = 12

Теперь давайте дополним это уравнение до квадрата. Для этого добавим и вычтем квадрат выражения (-2b):

c² - 2bc + b² - b² + 8c - 8b + 16 = 12

Теперь у нас есть полный квадрат по переменным c и b:

(c - b)² - (b² - 8b + 16) = 12

Теперь выразим (c - b)²:

(c - b)² = 12 + b² - 8b + 16

(c - b)² = b² - 8b + 28

Теперь возьмем корень из обеих сторон:

c - b = ±√(b² - 8b + 28)

Теперь мы можем выразить c через b:

c = b ± √(b² - 8b + 28)

Теперь мы имеем выражения для a, b и c через b. Мы можем подставить их в первое уравнение:

a - b + c = 8

(8 - b + c) - b + (b ± √(b² - 8b + 28)) = 8

Теперь упростим это уравнение и решим относительно b:

8 + √(b² - 8b + 28) = 8

√(b² - 8b + 28) = 0

Теперь мы видим, что корень равен нулю, что возможно только в случае, когда b² - 8b + 28 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

b² - 8b + 28 = 0

Используем квадратное уравнение, чтобы найти b:

D = (-8)² - 4 * 1 * 28 = 64 - 112 = -48

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и значит, нет решений для переменной b. Это означает, что система уравнений не имеет действительных решений, и, следовательно, значение выражения a² + b² + c² не определено.