Question

К графику функции y=1+1/x в точке М (1, 2) проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенной между осями координат. Сделайте схематический чертеж.

Answer 1

$y=1+\dfrac{1}{x}; \ \ \ M=(1 \ ;2)$

Найдем уравнение касательной

$y'=-\dfrac{1}{x^2}$

$y_{kac}=1+1+(-\dfrac{1}{1})\cdot(x-1)=3-x$

График касательной пересекает ось x в точке

$3-x=0 \ \Rightarrow \ x=3$

и так как коэффициент наклона k=-1, то касательная параллельна прямой y=-x и пересекает ось y в точке (0; 3)

Из равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами по 3

$c=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$

Ответ: 3√2

Answer 2

Для начала, найдем производную функции $y = 1 + \frac{1}{x}$:

$y' = -\frac{1}{x^2}$

В точке М (1, 2) значение производной будет:

$y' = -\frac{1}{1^2} = -1$

Это означает, что угловой коэффициент касательной в точке M равен -1.

Уравнение касательной имеет вид:

$y - 2 = -1(x - 1)$

Упростим его:

$y - 2 = -x + 1$

$y = -x + 3$

Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

Когда $y = 0$:

$0 = -x + 3$

$x = 3$

Когда $x = 0$:

$y = -0 + 3 = 3$

Таким образом, у нас есть следующие точки: $A(0,3)$ и $B(3,0)$.

Схематический чертеж будет выглядеть следующим образом:

$$\begin{array}{l} (0,3)---------------------------------------------B(3,0)\\ |\\ |\\ |\\ |\\ |\\ |\\ A(0,3)---------------------------------------------M(1,2) \end{array}$$

Теперь найдем длину отрезка касательной между осями координат, используя расстояние между точками $A$ и $B$:

$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$