Question

Решите неравенство (x-6)^2(1-log_1/7(x-1))>0

Answer 1

${(x - 6)}^{2} (1 - log_{ \frac{1}{7} }(x - 1) ) > 0 \\ odz \\ \: x - 1 > 0 \\ x > 1 \\ {(x - 6)}^{2} (1 - log_{ \frac{1}{7} }(x - 1) ) = 0 \\ {(x - 6)}^{2} = 0 \: \: \: \: and \: \: \: 1 - log_{ \frac{1}{7} }(x - 1) = 0 \\ x = 6 \: \: and \: \: \: log_{ \frac{1}{7} }(x - 1) = 1 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x - 1 = \frac{1}{7 } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x = \frac{8}{7} \\ x\in( \frac{8}{7} ;6)\cup(6; + \infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны разбить его на несколько частей и анализировать каждую из них отдельно. В данном случае, мы имеем два множителя в левой части неравенства: $(x-6)^2$ и $1 - \log_{\frac{1}{7}}(x-1)$.

1. Рассмотрим первый множитель: $(x-6)^2$. Этот множитель равен нулю только в одной точке, при $x = 6$. За пределами этой точки он всегда положителен, так как квадрат числа всегда неотрицателен. Таким образом, область, в которой $(x-6)^2 > 0$, - это $x \in (-\infty, 6) \cup (6, +\infty)$.

2. Рассмотрим второй множитель: $1 - \log_{\frac{1}{7}}(x-1)$.

Здесь нужно учесть, что логарифм $\log_{\frac{1}{7}}(x-1)$ определен только для $x-1 > 0$, что означает $x > 1$. Также, логарифм от числа меньше 1 будет отрицательным. Поэтому $1 - \log_{\frac{1}{7}}(x-1)$ всегда положительно для $x > 1$.

Теперь объединим оба эти множителя вместе, чтобы получить область, в которой их произведение больше нуля:

$$ (x-6)^2(1 - \log_{\frac{1}{7}}(x-1)) > 0 $$

Область, в которой это неравенство выполняется, - это пересечение области из первого множителя и области из второго множителя, то есть:

$$ x \in (-\infty, 6) \cup (6, +\infty) \cap (1, +\infty) $$

Получается, что решение данного неравенства - это:

$$ x \in (6, +\infty) $$

Таким образом, все значения $x$, большие 6, удовлетворяют данному неравенству.