Question

Решите плиз неравенство 1) log_0,5(2x+6)-log_0,5 4 > 0 2) log_1/4 (x+7)-log_1/4 4 > 0

Answer 1

1) log_0,5(2x+6)-log_0,5 4 > 0
ОДЗ: 2x + 6 > 0, x > - 3
 log_0,5(2x+6) > log_0,5 4 
0 < 0,5 < 1
2x + 6 < 4
2x < 4 - 6
2x < - 2
 x < - 1
C учётом ОДЗ
 x ∈(-3;-1)
Ответ: x ∈(-3;-1)

2) log_1/4 (x+7)-log_1/4 4 > 0
ОДЗ: x + 7 > 0, x > - 7 
 log_1/4 (x+7)> log_1/4 4 
0 < 1/4 < 1
x + 7 > 4
x > 4 - 7
x > - 3
x ∈ (-3; + ≈)
Ответ: x ∈ (-3; + ≈)

Answer 2

Давайте решим оба неравенства по очереди:

1. $\log_{0.5}(2x+6) - \log_{0.5}4 > 0$

Сначала упростим левую часть:

$\log_{0.5}(2x+6) - \log_{0.5}4 = \log_{0.5}\left(\frac{2x+6}{4}\right) = \log_{0.5}\left(\frac{x+3}{2}\right)$

Теперь преобразуем неравенство:

$\log_{0.5}\left(\frac{x+3}{2}\right) > 0$

Поскольку логарифм с основанием $0.5$ от положительного числа всегда положителен, это неравенство выполняется для всех $x$, таких что $\frac{x+3}{2} > 0$. Решим это неравенство:

$\frac{x+3}{2} > 0$

$x + 3 > 0$

$x > -3$

Таким образом, решение неравенства: $x > -3$.

2. $\log_{\frac{1}{4}}(x+7) - \log_{\frac{1}{4}}4 > 0$

Аналогично, упростим левую часть:

$\log_{\frac{1}{4}}(x+7) - \log_{\frac{1}{4}}4 = \log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{x+7}{4}\right)$

Теперь преобразуем неравенство:

$\log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{x+7}{4}\right) > 0$

Аналогично предыдущему случаю, так как логарифм с основанием $\frac{1}{4}$ от положительного числа всегда положителен, это неравенство выполняется для всех $x$, таких что $\frac{x+7}{4} > 0$. Решим это неравенство:

$\frac{x+7}{4} > 0$

$x + 7 > 0$

$x > -7$

Таким образом, решение неравенства: $x > -7$.

Итак, решения неравенств:

1. $x > -3$

2. $x > -7$