Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции и определите ее экстремумы y(x) = 3x2 +12x – 1

Answer 1

.......................

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, а также определения её экстремумов, мы можем воспользоваться производной функции y(x) и исследовать её поведение.

1. Найдем производную функции y(x):

y'(x) = 6x + 12

2. Чтобы найти точки, где производная равна нулю (критические точки), решим уравнение:

6x + 12 = 0

6x = -12

x = -2

Таким образом, критическая точка функции находится в x = -2.

3. Теперь проведем исследование интервалов возрастания и убывания функции с использованием знаков производной на этих интервалах. Для этого выберем произвольные значения x в интервалах до и после критической точки, а также в самой критической точке, и определим знак производной:

• Для x < -2, выберем x = -3: y'(-3) = 6(-3) + 12 = -18 + 12 = -6 Знак отрицательный, следовательно, функция убывает на интервале (-∞, -2).

• Для x > -2, выберем x = 0: y'(0) = 6(0) + 12 = 12 Знак положительный, следовательно, функция возрастает на интервале (-2, +∞).

4. Теперь определим экстремумы. Так как функция убывает на интервале (-∞, -2) и возрастает на интервале (-2, +∞), у нас есть локальный минимум в точке x = -2. Для определения значения функции в этой точке, подставим x = -2 в исходную функцию:

y(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) - 1 = 12 - 24 - 1 = -13

Таким образом, у функции y(x) = 3x^2 + 12x - 1 есть локальный минимум в точке (-2, -13).