Question

Помогите пожалуйста.Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке. f(x)=(x^2+5)/(x-2) , на промежутке [3;6].

Answer 1

F(x)=(x²+5)/(x-2)
f′(x)=(2x(x-2)-(x²+5))/(x-2)²=(2x²-4x-x²-5)/(x-2)²=(x²-4x-5)/(x-2)²
f'(x)=0
(x²-4x-5)/(x-2)²=0
x-2≠0
x≠2
x²-4x-5=0
D=16+20=36
X1=(4+6)/2=5 €[3;6]
X2=(4-6)/2=-1
f(3)=(3²+5)/(3-2)=14
f(5)=(25+5)/(5-2)=30/3=10
f(6)=(36+5)/(6-2)=41/4=10,25
min f(x)=f(5)=10
max f(x)=f(3)=14

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = (x^2 + 5)/(x - 2) на промежутке [3; 6], следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции f(x).
2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Проверим значения функции на граничных точках промежутка [3; 6] и критических точках, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f(x) = (x^2 + 5)/(x - 2)

f'(x) = [(x - 2)*(2x) - (x^2 + 5)] / (x - 2)^2

Шаг 2: Найдем критические точки, где f'(x) = 0 или не существует:

[(x - 2)*(2x) - (x^2 + 5)] / (x - 2)^2 = 0

Умножим обе стороны на (x - 2)^2, чтобы избавиться от знаменателя:

(x - 2)*(2x) - (x^2 + 5) = 0

Раскроем скобки и упростим:

2x^2 - 4x - x^2 - 5 = 0

x^2 - 4x - 5 = 0

(x - 5)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 5 и x = -1.

Шаг 3: Теперь проверим значения функции на граничных точках и критических точках:

a) f(3) = (3^2 + 5)/(3 - 2) = (9 + 5)/1 = 14 b) f(6) = (6^2 + 5)/(6 - 2) = (36 + 5)/4 = 41/4

Теперь посмотрим на критические точки: c) f(5) = (5^2 + 5)/(5 - 2) = (25 + 5)/3 = 10 d) f(-1) = (-1^2 + 5)/(-1 - 2) = (1 + 5)/(-3) = -2

Таким образом, на промежутке [3; 6] наименьшее значение функции f(x) равно -2 (достигается в точке x = -1), а наибольшее значение равно 41/4 (достигается в точке x = 6).