Question

У= х^2 +4х + 5 Найти вершину параболы и найти симметричные точки оси симметрии (2 пары)

Answer 1

Вершина параболы находится по формуле:
Х0= $- \frac{b}{2a}= \frac{-4}{2*1}=-2$
Y0=х^2+4х+5=(-2)²+4*(-2)+5=4-8+5=1
Вершина имеет координаты (-2;1)
У параболы все точки симметричны. Можешь сам в этом убедиться, построив параболу.
Возьмем еще несколько точек, например:
х=1, у=1²+4*1+5=10 (координата 1;10)
х=-1, у=(-1)²+4*(-1)+5=2 (координата -1;2)
х=-5, у=(-5)²+4*(-5)+5=10 (координата -5;10)
Таким образом, все точки симметричны.

Answer 2

Чтобы найти вершину параболы и симметричные точки относительно оси симметрии, воспользуемся стандартной формой уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты.

В данном случае у нас уравнение $y = x^2 + 4x + 5$. Сравним его с стандартной формой:

$a = 1$, $b = 4$, $c = 5$.

Вершина параболы имеет координаты $(-b/2a, f(-b/2a))$. Подставим значения:

$\text{Вершина: } x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$

Теперь найдем $f(-2)$:

$y_v = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$

Итак, вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$.

Ось симметрии проходит через вершину параболы и имеет уравнение $x = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $x = -2$. Таким образом, ось симметрии проходит через точку $(-2, 0)$.

Теперь найдем симметричные точки относительно оси симметрии. Если точка $(x, y)$ лежит на параболе, то ее симметричная точка относительно оси симметрии будет $(2x_v - x, y)$. В нашем случае:

1. Симметричная точка для $(-2, 1)$:

   $x_s = 2 \cdot (-2) - (-2) = -4 + 2 = -2$

   Таким образом, первая симметричная точка - $(-2, 1)$, вторая симметричная точка - $(-2, 1)$, так как они совпадают.

2. Симметричная точка для $(-2, 0)$:

   $x_s = 2 \cdot (-2) - (-2) = -4 + 2 = -2$

   Таким образом, первая симметричная точка - $(-2, 0)$, вторая симметричная точка - $(-2, 0)$, так как они совпадают.

Таким образом, вершина параболы - $(-2, 1)$, ось симметрии - $x = -2$, и есть две пары симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-2, 1)$, $(-2, 0)$ и $(-2, 0)$.