Question

Прошу помощи: Задание№1. Упростите выражения: a) 1-cos²α= б) sin²α-1= в) cos²a+(1-sin²α)= г) sin²α+2cos²α-1= д) (1-sin α)(1+sin α)= e) (cos α -1)(1+cos α)=

Answer 1

A) 1-cos²α=sin²α (из основного тригонометрического тождества sin²α+cos²α=1);
б) sin²α-1=-(1-sin²α)=-cos²α (из основного тригонометрического тождества sin²α+cos²α=1);
в) cos²a+(1-sin²α)=cos²α+cos²α=2cos²α;
г) sin²α+2cos²α-1=1-cos²α+2cos²α-1=cos²α;
д) (1-sin α)(1+sin α)=1-sin²α=cos²α;
e) (cos α -1)(1+cos α)=cos²α-1=-(1-cos²α)=-sin²α.

Answer 2

Давайте упростим данные выражения:

a) $1 - \cos^2\alpha$ Используя тригонометрическую идентичность $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, мы можем записать $\cos^2\alpha$ как $1 - \sin^2\alpha$. Теперь подставим это в выражение: $1 - \cos^2\alpha = 1 - (1 - \sin^2\alpha) = \sin^2\alpha$.

б) $\sin^2\alpha - 1$ Просто вычитаем 1: $\sin^2\alpha - 1 = \sin^2\alpha - 1$.

в) $\cos^2\alpha + (1 - \sin^2\alpha)$ Снова используем тригонометрическую идентичность $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\cos^2\alpha + (1 - \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha + 1 - \sin^2\alpha = 1$.

г) $\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha - 1$ Мы можем записать $\cos^2\alpha$ как $1 - \sin^2\alpha$, как в случае (a): $\sin^2\alpha + 2(1 - \sin^2\alpha) - 1 = \sin^2\alpha + 2 - 2\sin^2\alpha - 1$. Теперь упростим: $\sin^2\alpha + 2 - 2\sin^2\alpha - 1 = 2 - \sin^2\alpha - 1 = 1 - \sin^2\alpha$.

д) $(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)$ Это является разностью квадратов, которую мы можем раскрыть, используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1^2 - (\sin\alpha)^2 = 1 - \sin^2\alpha$.

е) $(\cos\alpha - 1)(1 + \cos\alpha)$ Это также разность квадратов: $(\cos\alpha - 1)(1 + \cos\alpha) = (\cos\alpha)^2 - 1^2 = \cos^2\alpha - 1$.

Таким образом, упрощенные выражения:

а) $\sin^2\alpha$

б) $\sin^2\alpha - 1$

в) 1

г) $1 - \sin^2\alpha$

д) $1 - \sin^2\alpha$

е) $\cos^2\alpha - 1$