Question

Помогите решить! Доказать, чтоn(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)⋮120,n∈N.

Answer 1

N(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
Среди пяти последовательных чисел одно обязательно делится на 5, одно обязательно делится на 4, одно на 3, одно делится на 2, но не делится на 4, тогда их произведение делится на следующее произведение: 5*4*3*2 = 120

Answer 2

Здесь произведения 5 последовательных натуральных чисел.п*(п+1) делится на 2, п*(п+1)*(п+2) делится на 3, п*(п+1)*(п+2)*(п+3) делится на 4, а п*(п+1)*(п+2)*(п+3)*(п+4) делится на 5,так как произведения двух последовательных чисел делится на 2, и так далее.Значит, данное выражения делится на 2*3*4*5=120.Доказано!

Answer 3

Для доказательства, что выражение n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) делится на 120 для всех натуральных чисел n, можно воспользоваться методом математической индукции. Индукция позволяет доказать утверждение для всех натуральных чисел, начиная с некоторого базового значения (обычно 1 или 0) и далее доказывая, что если утверждение верно для некоторого n, то оно также верно для n+1.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1).

Проверим, что утверждение верно для n = 1: 1(1+1)(1+2)(1+3)(1+4) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.

Заметим, что в этом случае выражение равно 120, и 120 действительно делится на 120.

Шаг 2: Предположение индукции.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть:

k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) делится на 120.

Шаг 3: Доказательство для n = k+1.

Теперь нам нужно доказать, что утверждение также верно для n = k+1. Рассмотрим выражение для n = k+1:

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5).

Мы можем разбить это выражение на две части: k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) и 5(k+1). По предположению индукции, первая часть делится на 120. Также, 5(k+1) делится на 5. Поскольку 120 делится и на 5, и на 120, произведение обеих частей также будет делиться на 120.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для некоторого k, то оно также верно для k+1. Это завершает доказательство по методу математической индукции.

Следовательно, выражение n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) делится на 120 для всех натуральных чисел n.