Question

Найдите наименьшее значение функции у=√х^2-4х+8

Answer 1

1. Выделение полного квадрата:
$y= \sqrt{(x^2-4x+4)+4} = \sqrt{(x-2)^2+4};$, очевидно, что наименьшее значение функции достигается, когда значение квадрата под корнем 0 (там х=2), тогда  $y_{min}= \sqrt{4}=2$
2. Стандартно через производную:
$y'= \frac{1}{2 \sqrt{x^2-4x+8} }*(x^2-4x+8)'= \frac{2x-4}{2 \sqrt{x^2-4x+8} }= \frac{x-2}{ \sqrt{x^2-4x+8} };$
Видно, что  когда x>2, y'>0 (функция возрастает) и когда x<2 y'<0 - функция убывает, т.е. наименьшее значение достигается при x=2;
$y= \sqrt{2^2-4*2+8}= \sqrt{4} =2$

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 4x + 8}$, нужно найти минимум выражения под корнем $(x^2 - 4x + 8)$.

Для этого можно воспользоваться производной. Сначала найдем производную выражения $x^2 - 4x + 8$ по $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 8) = 2x - 4$$

Затем приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$2x - 4 = 0$$

Теперь решим это уравнение:

$$2x = 4$$

$$x = 2$$

Теперь, чтобы определить, является ли это точкой минимума или максимума, мы можем взять вторую производную:

$$\frac{d^2}{dx^2}(x^2 - 4x + 8) = 2$$

Вторая производная положительна, что означает, что у нас есть минимум функции в точке $x = 2$.

Теперь мы можем найти значение функции $y$ в этой точке:

$$y = \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 + 8} = \sqrt{4 - 8 + 8} = \sqrt{4} = 2$$

Итак, наименьшее значение функции $y$ равно 2, и оно достигается при $x = 2$.