Question

Докажите тождество (9/(x+3)²+18/x²-9+9/(x-3)²)*(x/3-3/x)²=4

Answer 1

1
9/(x+3)²+18/(x-3)(x+3)+9/(x-3)²=(9x²-54x+81+18x²-162+9x²+54x+81)/(x²-9)²=
=36x²/(x²-9)²
2)(x/3-3/x)²=(x²-9)²/9x²
3)36x²/(x²-9)² *(x²-9)²/9x²=4

Answer 2

Начнем с левой стороны:

$LHS = \left(\frac{9}{(x+3)^2} + \frac{18}{x^2} - 9 + \frac{9}{(x-3)^2}\right) \cdot \left(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}\right)^2$

1. Раскроем квадрат во втором множителе:

$LHS = \left(\frac{9}{(x+3)^2} + \frac{18}{x^2} - 9 + \frac{9}{(x-3)^2}\right) \cdot \left(\frac{x^2}{9} - 2 + \frac{9}{x^2}\right)$

2. Умножим каждый член первого множителя на каждый член второго:

$LHS = \frac{9x^2}{(x+3)^2 \cdot 9} + \frac{18x^2}{x^2 \cdot 9} - 9\left(\frac{x^2}{9} - 2 + \frac{9}{x^2}\right) + \frac{9x^2}{(x-3)^2 \cdot 9}$

3. Упростим выражение:

$LHS = \frac{x^2}{(x+3)^2} + 2 - x^2 + \frac{x^2}{(x-3)^2}$

4. Приведем общий знаменатель:

$LHS = \frac{x^2(x-3)^2 + 2(x+3)^2(x-3)^2 - x^2(x+3)^2}{(x+3)^2(x-3)^2}$

5. Раскроем скобки:

$LHS = \frac{x^4 - 6x^2 + 9 + 2x^4 + 12x^3 - 18x^2 - 6x^2 + 36x + 27}{(x+3)^2(x-3)^2}$

6. Сложим подобные члены:

$LHS = \frac{3x^4 + 12x^3 + 45x + 36}{(x+3)^2(x-3)^2}$

Теперь мы видим, что левая сторона не равна 4. Возможно, в исходном тождестве была ошибка или неправильная формулировка. Пожалуйста, проверьте исходные данные.