Question

Помогите пжлст) найдите наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области. z=x^2+3y^2+x-y D: x=1 y=1 x+y=1 5.6)

Answer 1

Найдём частные производные

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 1, \ \ \frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 1$

Приравнивая выражения к нулю и решая линейную систему уравнений, мы получаем точку $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)$, где обе части равны $0$, но эта точка находится вне области. Следовательно, минимумы и максимумы функции будут находиться на границе

Заметим, что $D$ - это треугольник. На стороне, где $x+y = 1$, $x$ лежит в диапазоне от $0$ до $1$. Тогда $z = x^2 + 3(1-x)^2 + x - (1-x) = 4x^2 - 4x + 2 = (2x-1)^2 + 1$, поэтому минимум равен $1$ при $x = \frac{1}{2}$, а максимум равен $2$ при $x=0$ или $x = 1$

На стороне, где $x=1$, $y$ лежит в диапазоне от $0$ до $1$. Тогда $z = 1 + 3y^2 + 1 - y = 3\left(y-\frac{1}{6}\right)^2 + \frac{23}{12}$. Минимум равен $\frac{23}{12}$ при $y = \frac{1}{6}$, а максимум равен $4$ при $y = 1$

На стороне с $y = 1$, $x$ лежит в диапазоне от $0$ до $1$. Тогда $z = x^2 + x + 2 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}$. Минимум равен $2$ при $x = 0$, а максимум - $4$ при $x = 1$

Объединяя результаты, глобальный минимум равен $1$ при $x = y = \frac{1}{2}$, а глобальный максимум равен $4$ при $x = y = 1$.

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с этим математическим вопросом. У вас есть функция $z = x^2 + 3y^2 + x - y$ и замкнутая область, ограниченная уравнениями $x = 1$, $y = 1$ и $x + y = 1$.

Для поиска минимального и максимального значений функции в данной области, нужно рассмотреть краевые точки и стационарные точки внутри области.

1. Найти краевые точки:

   • $x = 1$
   • $y = 1$
   • $x + y = 1$

2. Найти стационарные точки:

   • Для этого найдем частные производные функции $z$ по $x$ и $y$, приравняем их к нулю и решим полученные уравнения.
   $$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$$
   $$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{6}$$

Теперь оценим значения функции в найденных точках и выберем минимальное и максимальное:

• $z(1,1)$
• $z\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)$
• $z(0,1)$

Это позволит нам определить наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области.