Question

Интеграл dx/x(x^2+1)

Answer 1

$\int \frac{dx}{x(x^2+1)}=\int(\frac{A}x}+\frac{Bx+C}{x^2+1})dx=I\\\\\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+x(Bx+C)}{x(x^2+1)}\\\\1=Ax^2+Bx^2+Cx+A\\\\x^2|\; A+B=0\\\\x\; |\; C=0\\\\x^0|\; A=1\\\\B=-A=-1\\\\I=\int \frac{dx}{x}+\int \frac{-x\, dx}{x^2+1}=ln|x|-\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{x^2+1}=ln|x|-\frac{1}{2}\cdot ln(x^2+1)+C$

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫(dx / x(x^2 + 1)) нужно провести замену переменных. Положим u = x^2 + 1, откуда du = 2x dx. Тогда dx = du / (2x), а x = √(u - 1). Заменим dx и x в исходном интеграле:

∫(dx / x(x^2 + 1)) = ∫((du / (2x)) / (x(x^2 + 1))) = ∫((du / (2√(u - 1))) / (√(u - 1)(u))) = 1/2 ∫(du / (u - 1)) = 1/2 ln|u - 1| + C,

где C -- произвольная константа интегрирования.

Заменим обратно u на x^2 + 1:

∫(dx / x(x^2 + 1)) = 1/2 ln|x^2 + 1 - 1| + C = 1/2 ln|x^2| + C = 1/2 ln|x^2| + C,

где C -- та же произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫(dx / x(x^2 + 1)) равен 1/2 ln|x^2| + C.