Question

Проверьте, что функция F является первообразной для функции f. Найдите общий вид первообразных для f, если : а) F(x) =sin x-x cosx, f(x) =x sinx Объясните как это решить

Answer 1

Если F являетсяпервообразной для функции f, то F`=fF`(x) =(sin x-x*cosx)`=sinx`-(x`cosx+x*cosx`)=cosx-(cosx-x*sinx)=xsinx. Проверено.
Общий вид первообразных для f:
F(x) =sin x-x cosx+С

Answer 2

Для того чтобы проверить, является ли функция F первообразной для функции f, нужно убедиться, что производная F равна функции f. То есть, если F'(x) = f(x), то F(x) - первообразная для f(x). Давайте выполним эту проверку.

Дано: F(x) = sin(x) - xcos(x) f(x) = x + sin(x)

Сначала найдем производную F(x):

F'(x) = (sin(x) - xcos(x))'

Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения:

F'(x) = sin'(x) - (xcos(x))' F'(x) = cos(x) - (xcos(x))'

Теперь у нас есть производная F'(x). Мы должны сравнить ее с функцией f(x), чтобы убедиться, что F(x) является первообразной для f(x).

f(x) = x + sin(x)

Сравним F'(x) и f(x):

F'(x) = cos(x) - (xcos(x)) f(x) = x + sin(x)

Сравнивая оба выражения, видно, что F'(x) не равно f(x). Поэтому F(x) = sin(x) - xcos(x) не является первообразной для f(x) = x + sin(x).

Чтобы найти общий вид первообразных для f(x), нужно найти функцию F(x), которая будет удовлетворять условию F'(x) = f(x). Для этого мы должны найти новую функцию F(x), такую, что ее производная F'(x) равна f(x).

f(x) = x + sin(x)

Давайте найдем F(x):

F(x) = ∫(x + sin(x)) dx

Интегрируем по частям, используя интегралы от x и sin(x):

F(x) = ∫x dx + ∫sin(x) dx

∫x dx = (1/2)x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная

∫sin(x) dx = -cos(x) + C2, где C2 - произвольная постоянная

Теперь объединим оба интеграла:

F(x) = (1/2)x^2 - cos(x) + C

Где C = C1 + C2 - это также произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразных для f(x) = x + sin(x) будет:

F(x) = (1/2)x^2 - cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.