Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА. Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Answer 1

Разность двух чисел делиться на 11 ,когда разность их остатков от деления на 11 делиться на 11,что возможно лишь когда результирующий остаток равен 0.А значит в этом случае их остатки от деления на 11 должны быть равны. Предположим что среди 12 целых чисел нет разности кратной 11,тогда и нет чисел с равными остатками.То и среди 11 из них нету равных остатков,а тогда поскольку остатки не могут превышать 10 и быть менее чем 0.От 0 до 10 -11 остатков.Таким образом среди этих 11 чисел будут все возможные остатки тк они не повторны.А значит у 12 числа остаток будет равен какому нибудь из 11 остальных,то есть мы пришли к противоречию.Утверждение доказано.

Answer 2

Чтобы доказать, что из 12 целых чисел можно выбрать два таких, разность которых делится на 11, мы можем воспользоваться принципом ящиков и шаров (или принципом Дирихле).

Представьте, что у нас есть 12 "ящиков", каждый из которых представляет целое число. Теперь мы будем "размещать" 11 "шаров" (разности между этими числами) в этих ящиках. Если в каждом ящике окажется не более одного шара (то есть, если все разности между числами различны), то у нас не будет пары чисел с разностью, делящейся на 11.

Однако, у нас есть 12 "шаров" (целых чисел) и только 11 "ящиков" (возможных разностей). Следовательно, по принципу Дирихле, как минимум в одном из ящиков должно оказаться более одного "шара". Это означает, что разность между числами, находящимися в этом ящике, будет делиться на 11.

Таким образом, мы доказали, что из 12 целых чисел можно выбрать два таких, разность которых делится на 11.