Question

Решите уравнение 2x+xy=x+7 в целых числах. Сколько решений имеет задача?

Answer 1

$2x^{2} +xy=x+7.$
Заметим, что при x=0 решений нет, т.к. получается равенство 0=7. Следовательно, зависимость y(x) - линейная. Поскольку игрек есть только в одном слагаемом, несложно выразить ее формулой.
$xy=x+7-2x^2;\\ y=\frac{x-2x^2+7}{x};\\ y=1-2x+\frac7x.$
Так как рассматриваются только целые икс и игрек, то дробь 7/х, которую можно выразить как y+2x-1∈Z, принимает целое значение. Это возможно, только если х - целый делитель 7. Всего получаем 4 варианта: ±1, ±7. Каждому из вариантов х соответствует ровно одно значение y, поэтому задача имеет 4 решения: (1, 6), (-1, -4), (7, -12), (-7, 14)

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение 2x + xy = x + 7 и попробуем найти целые числа, которые удовлетворяют этому уравнению.

Сначала выразим x через y, чтобы упростить уравнение: 2x + xy = x + 7 x(2 + y) = x + 7

Теперь мы видим, что x можно сократить, так как x(2 + y) = x(1 + y), и если x ≠ 0, то обе стороны можно поделить на x: 2 + y = 1 + y

Из этого видно, что уравнение не имеет решений в целых числах, так как 2 не равно 1. Это значит, что задача не имеет решений в целых числах.

Таким образом, уравнение 2x + xy = x + 7 не имеет целых числовых решений.