Question

Разложить многочлен на множители X^4+4y^4

Answer 1

$x^4+4y^4=x^4+4y^4+4x^2y^2-4x^2y^2=\\\\(x^4+4x^2y^2+4y^4)-4x^2y^2=\\\\(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$

Answer 2

Для разложения многочлена \(X^4 + 4y^4\) на множители, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

\[a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2).\]

В данном случае, \(a = X^2\) и \(b = 2y^2\), поэтому мы можем применить эту формулу к нашему многочлену:

\[X^4 + 4y^4 = (X^2 + 2y^2)(X^2 - 2y^2).\]

Теперь обратим внимание на оба множителя. Первый множитель \(X^2 + 2y^2\) больше не может быть разложен на более простые множители вещественных чисел, так как это квадратичный трехчлен. Однако, второй множитель \(X^2 - 2y^2\) также может быть разложен на множители, используя разность квадратов:

\[X^2 - 2y^2 = (X + \sqrt{2}y)(X - \sqrt{2}y).\]

Итак, окончательное разложение многочлена \(X^4 + 4y^4\) на множители:

\[X^4 + 4y^4 = (X^2 + 2y^2)(X^2 - 2y^2) = (X^2 + 2y^2)(X + \sqrt{2}y)(X - \sqrt{2}y).\]

Это разложение на множители многочлена \(X^4 + 4y^4\).