Question

Однажды ковбои на Диком Западе решили поразвлечься и устроили перестрелку, после которой в живых остался только один ковбой, а все остальные были убиты. При этом некоторые из них были застрелены, так и не успев произвести ни одного выстрела, а каждый из остальных застрелил троих до своей гибели. Единственный уцелевший ковбой также застрелил троих (никакие два ковбоя не застрелили друг друга). Докажите, что число застреленных ковбоев, не успевших произвести выстрелов, нечетное.

Answer 1

Ответ:

Давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно. Пусть общее число ковбоев, включая выжившего, равно N. Предположим, что количество ковбоев, не успевших произвести выстрелы, равно x.

После перестрелки остался только один ковбой, значит, N - 1 ковбоев были убиты. Из них некоторые застрелили троих до своей гибели, а остальные не успели произвести ни одного выстрела.

Пусть y обозначает количество ковбоев, которые застрелили троих до своей гибели. Тогда, оставшиеся N - 1 - y ковбоев были убиты без выстрелов.

Так как каждый из оставшихся ковбоев застрелил троих до своей гибели, то количество убитых ковбоев без выстрелов должно быть кратно 3. То есть, N - 1 - y должно быть кратно 3.

Теперь рассмотрим выжившего ковбоя. Он тоже застрелил троих. Пусть z обозначает количество ковбоев, которых он убил. Тогда, N - 1 - y - z ковбоев были убиты без выстрелов, так как они не могли быть убиты выжившим ковбоем.

Заметим, что N - 1 - y - z также должно быть кратно 3, так как каждый из оставшихся ковбоев был убит без выстрела.

Теперь давайте предположим, что количество ковбоев, не успевших произвести выстрелы (x), четное. Это означает, что N - 1 - y - z также должно быть четным.

Однако, мы знаем, что N - 1 - y и N - 1 - y - z должны быть кратны 3. Если оба числа четные, то их разность также должна быть четной, что противоречит тому, что она должна быть кратной 3.

Таким образом, предположение о том, что x четное, неверно. Следовательно, количество застреленных ковбоев, не успевших произвести выстрелы, должно быть нечетным.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно.

Пусть N - это общее количество ковбоев, участвовавших в перестрелке. Мы знаем, что уцелел только один ковбой, и остальные были убиты. Пусть количество ковбоев, которые застрелили троих до своей гибели, равно A, и пусть количество ковбоев, которые не успели произвести ни одного выстрела, равно B. Поскольку каждый ковбой застрелил троих других, то всего было произведено 3 * A выстрелов. Дополнительно, уцелевший ковбой застрелил троих. Это означает, что общее количество выстрелов равно 3 * A + 3.

Теперь мы можем сказать, что общее количество выстрелов равно общему количеству ковбоев, которые участвовали в перестрелке (N), умноженному на количество выстрелов, сделанных каждым из них в среднем. Мы знаем, что N - 1 ковбой умер, поэтому:

3 * A + 3 = N * (среднее количество выстрелов на каждого ковбоя).

Теперь давайте рассмотрим количество ковбоев, которые не успели произвести ни одного выстрела (B). Если бы каждый из них сделал хотя бы один выстрел, то было бы дополнительно B выстрелов. Но мы знаем, что всего было сделано 3 * A выстрелов. Таким образом, среднее количество выстрелов на каждого ковбоя можно записать как (3 * A + 3 - B) / N.

Теперь у нас есть два разных выражения для среднего количества выстрелов на каждого ковбоя:

3 * A + 3 = N * (среднее количество выстрелов на каждого ковбоя), и (3 * A + 3 - B) / N = (среднее количество выстрелов на каждого ковбоя).

Поскольку оба выражения равны среднему количеству выстрелов на каждого ковбоя, они равны между собой:

3 * A + 3 = (3 * A + 3 - B) / N.

Теперь мы можем упростить это уравнение:

3 * A + 3 = (3 * A + 3 - B) / N, 3 * A * N = 3 * A + 3 - B, 3 * A * N - 3 * A = 3 - B, 3 * A * (N - 1) = 3 - B.

Теперь мы видим, что левая сторона уравнения - это произведение 3, A и (N - 1), и оно должно быть кратно 3. Поэтому (3 - B) также должно быть кратно 3. Это означает, что (3 - B) - нечетное число, и, следовательно, B - четное число.

Теперь мы знаем, что B - четное число, что означает, что количество ковбоев, не успевших произвести ни одного выстрела, нечетное. Таким образом, мы доказали, что число застреленных ковбоев, не успевших произвести выстрелов, нечетное.