Question

Задание 2. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8. Для начала составим выражение, о котором говорится в задании. Если четное числоможно записать при помощи переменной как 2, то нечетное число будет выглядеть как2n + 1.1-ое нечетное число: 2n + 12-ое нечетное число: 2n + 3Разность квадратов этих чисел: (2 + 3)2 − (2 + 1)2 Теперь необходимо доказать, что данное выражение кратно 8. Попробуйте сделать этосамостоятельно. Здесь неважно то, как вы начнете действовать: вы можетевоспользоваться формулой разности квадратов, а можно просто взять и упростить данноевыражение.Задание 3. Докажите, что если к произведению трёх последовательных целых чиселприбавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.Подсказка:Рассмотрим каждое выражение, о котором говорится в задаче.Первое число: Второе число: ( n+ 1)Третье число: (n + 2)Их произведение:n ( n+ 1)(n + 2)Прибавим среднее число и получим: (n + 1)(n + 2) + (n + 1)Куб среднего числа: (n + 1)3Теперь можем составить тождество, которое необходимо доказать:n(n + 1)( n+ 2) + (n + 1) = (n + 1)3

Answer 1

$2)\; \; (2n+3)^2-(2n+1)^2=\Big((2n+3)-(2n+1)\Big)\Big((2n+3)+(2n+1)\Big)=\\\\=(3-1)(4n+4)=2\cdot 4(n+1)=8\cdot (n+1)\\\\8(n+1)\, \vdots \; 8$

Если число можно представить в виде произведения , где одним из множителей является  8, то это число делится на 8 .

$3)\; \; n\underline {(n+1)}(n+2)+\underline {(n+1)}=(n+1)\cdot \Big(n(n+2)+1\Big)=\\\\=(n+1)\underline {(n^2+2n+1)}=(n+1)\underline {(n+1)^2}=(n+1)^3$

Если к произведению трёх последовательных чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма равна кубу среднего числа.

Answer 2

Задание 2

Обозначим первое число как $(2n-1)$, а следующее за ним как $(2n+1), \; n \in \mathbb N$. Раскроем разность квадратов по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(2n-1)^2-(2n+1)^2=(2n-1-(2n+1))(2n-1+2n+1)=\\=-2 \cdot 4n=-8n$

Один из множителей делится на 8, а значит, и всё число делится на 8.

Задание 3

Запишем три последовательных числа как $(z-1), \; z, \; (z+1), \; \; z \in \mathbb Z$. Составим выражение из условия:

$(z-1) \cdot z \cdot (z+1)+z=(z^2-1) \cdot z+z=z(z^2-1+1)= z \cdot z^2=z^3.$

Что и требовалось доказать.

Answer 3

Давайте начнем с доказательства первого утверждения.

Вы уже правильно записали разность квадратов двух последовательных нечетных чисел:

Разность квадратов = (2n + 3)^2 - (2n + 1)^2

Теперь давайте разложим разность квадратов на множители, используя формулу разности квадратов:

(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2 = (2n + 3 + 2n + 1) * (2n + 3 - 2n - 1) = (4n + 4) * 2 = 4 * (n + 1) * 2

Как видите, полученное выражение 4 * (n + 1) * 2 является произведением числа 8 и некоторого целого числа. Таким образом, разность квадратов двух последовательных нечетных чисел действительно делится на 8.

Теперь перейдем ко второму утверждению.

Вы уже записали произведение трех последовательных целых чисел и сумму к нему:

Произведение = n * (n + 1) * (n + 2) Сумма = (n + 1) * (n + 2) + (n + 1)

И вам нужно доказать, что сумма равна кубу среднего числа, то есть:

Сумма = (n + 1)^3

Для доказательства, развернем куб среднего числа:

(n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1

Теперь сравним это выражение с выражением для суммы:

(n + 1) * (n + 2) + (n + 1) = n^2 + 3n^2 + 3n + 2n + 1 = n^3 + 3n^2 + 5n + 1

Как видно, сумма и куб среднего числа не совпадают. Поэтому, кажется, у вас ошибка во втором утверждении. Возможно, вы ошиблись при записи, или неправильно поняли задачу. Пожалуйста, уточните задание или попробуйте пересмотреть доказательство.