Question

Для чётной функции f(x) и нечётной функции g(x) для всех действительных значений аргумента выполняется равенство f(x)+g(x)= 2x^2-7x-5. Найдите корень ( или сумму корней, если их несколько) уравнения f(x)=g(x)​

Answer 1

Ответ:

-3,5 ........................

Объяснение:

f(x) + g(x) = 2x² -7x -5  ( 1  )  ;  заменим  в  равенстве ( 1 )  x  на ( - x ) :

f(-x) + g( -x) = 2x² +7x -5  или :  f(x) -  g(x) =  2x² +7x -5  ( 2 ) ;  сложим  

уравнения  ( 1 )  и  ( 2 ) :  2 · f(x) = 4x² - 10  ⇒ f(x) = 2x² -5  и

g(x) =  2x² -7x -5 - f(x) = -7x  ;  f(x) =  g(x) ⇔  2x² + 7x -5 =0 ; D >0

x(1) + x(2)  = - 7/2 = -3,5 ( по теореме Виета )

Answer 2

Для чётной функции f(x) выполняется f(-x) = f(x), и для нечётной функции g(x) выполняется g(-x) = -g(x).

Исходное уравнение:

f(x) + g(x) = 2x^2 - 7x - 5

Теперь мы хотим найти корень (или сумму корней) уравнения f(x) = g(x). Заметим, что если f(x) = g(x), то:

f(x) - g(x) = 0

Теперь мы можем преобразовать левую часть этого уравнения, используя свойства чётных и нечётных функций:

f(x) - g(x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) + g(-x)

Таким образом, уравнение f(x) - g(x) можно переписать следующим образом:

f(x) - g(x) = f(x) + g(-x) = 2x^2 - 7x - 5

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить:

2x^2 - 7x - 5 = 0

Давайте найдем его корни. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию. В данном случае, факторизация более удобна:

(2x + 1)(x - 5) = 0

Отсюда мы получаем два корня:

1. 2x + 1 = 0 => 2x = -1 => x = -1/2
2. x - 5 = 0 => x = 5

Итак, уравнение f(x) = g(x) имеет два корня: x = -1/2 и x = 5.