Question

3. Знайдіть проміжки зростання і спадання та екстре- муми функції: 1) f(x) = x³ - 27x; 3) f(x)=sin 2 x +4x 2) f(x)= x² +5/ x-2 ​

Answer 1

........................

Answer 2

Давайте спробуємо знайти проміжки зростання і спадання, а також екстремуми для кожної з функцій.

1. f(x) = x³ - 27x:

Спочатку знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = 3x² - 27.

Тепер знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю:

3x² - 27 = 0.

Розв'яжемо це рівняння:

3x² = 27, x² = 9, x = ±3.

Тепер перевіримо знаки похідної в інтервалах між цими точками і за межами них. Використовуючи тестування знаків, ми отримуємо такий результат:

-∞ -3 3 +∞

• Copy code
  0   -     +
  

Звідси видно, що функція зростає на інтервалах (-∞, -3) та (3, +∞) і спадає на інтервалі (-3, 3).

Тепер давайте знайдемо значення функції в точках x = -3 та x = 3:

f(-3) = (-3)³ - 27(-3) = -27 + 81 = 54, f(3) = 3³ - 27(3) = 27 - 81 = -54.

Таким чином, у точці x = -3 функція має локальний максимум, і у точці x = 3 - локальний мінімум.

2. f(x) = sin(2x) + 4x:

Спочатку знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = 2cos(2x) + 4.

Тепер знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю:

2cos(2x) + 4 = 0, 2cos(2x) = -4, cos(2x) = -2.

Це рівняння не має розв'язків в дійсних числах, оскільки косинус не може бути меншим за -1 або більшим за 1. Тобто функція не має локальних мінімумів або максимумів.

3. f(x) = x² + 5/(x-2):

Спочатку знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = 2x - 5/(x-2)².

Тепер знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю:

2x - 5/(x-2)² = 0.

Ми не можемо знайти аналітичний розв'язок цього рівняння, тому скористаємось графіком функції або числовим методом, щоб знайти наближені значення.

Загалом, це суть підходу до знаходження проміжків зростання і спадання, а також екстремумів для заданих функцій. У деяких випадках може знадобитися числовий аналіз для знаходження точних значень.