Question

Найдите площадь формы графика функции у=х³-6х²+9х+1 и касательная к ней в точке х=3​

Answer 1

Ответ:       6.75 кв. ед.

Объяснение:

Строим график функции  у=х³-6х²+9х+1.

и касательную к ней в точке х=3​.  (См. скриншот)

Площадь криволинейной трапеции определяем по формуле Ньютона-Лейбница

s=∫ₐᵇf(x)dx = F(x)|ₐᵇ=F(b) - F(a).

Пределы интегрирования a=0; b=3.  

S=s(AmB) - s(AnB) = ∫₀³(х³-6х²+9х+1)dx - ∫₀³(1)dx = 9.75 - 3 = 6.75 кв. ед.

1)   ∫₀³(х³-6х²+9х+1)dx =   ∫₀³(x³)dx - 6∫₀³(x²)dx + 9∫₀³(x)dx + ∫₀³1*dx =

= 1/4(x⁴)|₀³ - 6/3(x³)|₀³+9/2(x²)|₀³+(x)|₀³ =

= 1/4(3⁴-0⁴) - 2(3³-0³) +9/2(3²-0²)+(3-0) = 81/4-2*27+81/2+3=

= 20.25 - 54 + 40.5 + 3 = 9.75 кв. ед.

2)  ∫₀³(1)dx =(x)|₀³ = (3-0) = 3 кв. ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь формы графика функции y = x³ - 6x² + 9x + 1 и касательной к ней в точке x = 3, сначала нужно найти уравнение касательной. Затем мы найдем точки пересечения графика функции и касательной, и затем интегрируем разность между двумя кривыми в пределах этих точек, чтобы найти площадь между ними.

1. Найдем производную функции y по x, чтобы получить уравнение касательной в точке x = 3. y = x³ - 6x² + 9x + 1 y' = 3x² - 12x + 9

2. Теперь найдем уравнение касательной в точке x = 3. Подставим x = 3 в y': y'(3) = 3(3)² - 12(3) + 9 y'(3) = 27 - 36 + 9 y'(3) = 0

Уравнение касательной в точке x = 3 имеет вид: y = 0x + b, или просто y = b, где b - значение функции в точке x = 3.

3. Найдем значение функции в точке x = 3: y(3) = 3³ - 6(3)² + 9(3) + 1 y(3) = 27 - 54 + 27 + 1 y(3) = 1

Таким образом, уравнение касательной имеет вид y = 1.

4. Теперь нам нужно найти точки пересечения между графиком функции y = x³ - 6x² + 9x + 1 и касательной y = 1. Решим уравнение: x³ - 6x² + 9x + 1 = 1

Упростим его: x³ - 6x² + 9x = 0

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы видим, что x = 0 - один из корней, и это точка пересечения. Другие корни могут быть найдены путем деления на x: x(x² - 6x + 9) = 0

Таким образом, x = 0 (это корень, который мы уже знаем) и x² - 6x + 9 = 0. Факторизуем квадратное уравнение: (x - 3)² = 0

Теперь у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 3.

5. Найдем площадь между графиком функции и касательной в пределах этих точек, используя интеграл: S = ∫[0, 3] (x³ - 6x² + 9x + 1 - 1) dx

Убираем 1 из интеграла: S = ∫[0, 3] (x³ - 6x² + 9x) dx

Теперь вычислим этот интеграл: S = [x⁴/4 - 2x³ + 9x²/2] от 0 до 3

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: S = [(3⁴/4 - 2(3)³ + 9(3)²/2) - (0⁴/4 - 2(0)³ + 9(0)²/2)]

Вычисляем значения в скобках: S = [(81/4 - 54 + 81/2) - (0 - 0 + 0)]

Теперь вычисляем значения в скобках и упрощаем: S = (81/4 - 54 + 81/2)

Теперь найдем числовое значение площади: S = (20.25 - 54 + 40.5) S = 6.75

Площадь между графиком функции y = x³ - 6x² + 9x + 1 и касательной y = 1 в пределах точек x = 0 и x = 3 равна 6.75 квадратных единиц.