Question

Количество целых решений неравенства |2x²+11x-40|≤|x²+x-56|

Answer 1

1)2x²+11x-40≤x²+x-56
2x²+11x-40-x²-x+56≤0
x²+10x+16≤0
x1+x2=-10 U x1*x2=16
x1=-8 U x2=-2
x∈[-8;-2]
2)2x²+11x-40≤-x²-x+56
2x²+11x-40+x²+x-56≤0
3x²+12x-96≤0
x²+4x-32≤0
x1+x2=-4 U x1*x2=-32
x1=-8 U x2=4
x∈[-8;4]
общее x∈[-8;-2]

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство:

|2x² + 11x - 40| ≤ |x² + x - 56|

Чтобы найти количество целых решений этого неравенства, давайте разобьем его на несколько случаев в зависимости от знаков выражений под модулями.

1. Если выражения под обоими модулями положительны (или оба равны нулю), то неравенство будет иметь вид:

2x² + 11x - 40 ≤ x² + x - 56

Вычитаем x² и x из обеих сторон:

x² + 10x - 40 ≤ -56

Теперь преобразуем это уравнение:

x² + 10x + 16 ≥ 0

(x + 8)(x + 2) ≥ 0

Здесь мы нашли, что факторы этого квадратного уравнения равны -8 и -2. Учитывая, что дискриминант равен 0, это уравнение имеет один корень, и он равен -5. Таким образом, неравенство будет удовлетворено везде, где x ≤ -8 или x ≥ -2.

2. Если выражение под левым модулем положительное, а под правым отрицательное (или наоборот), то неравенство будет иметь вид:

2x² + 11x - 40 ≤ -(x² + x - 56)

Рассмотрим каждую сторону отдельно:

a) Для левой стороны:

2x² + 11x - 40 ≤ 0

b) Для правой стороны:

x² + x - 56 > 0

Сначала рассмотрим левую сторону. Мы можем решить неравенство 2x² + 11x - 40 ≤ 0, найдя корни соответствующего уравнения:

2x² + 11x - 40 = 0

(x + 5)(2x - 8) = 0

Корни этого уравнения равны x = -5 и x = 4. Теперь мы можем анализировать знак этого выражения на интервалах между этими корнями:

-∞ < x < -5: Выражение положительное. -5 < x < 4: Выражение отрицательное. x > 4: Выражение положительное.

Теперь рассмотрим правую сторону. Мы можем решить неравенство x² + x - 56 > 0, найдя его корни:

x² + x - 56 = 0

(x + 8)(x - 7) = 0

Корни этого уравнения равны x = -8 и x = 7. Анализируем знак выражения:

-∞ < x < -8: Выражение положительное. -8 < x < 7: Выражение отрицательное. x > 7: Выражение положительное.

Теперь, объединяя результаты, мы видим, что неравенство удовлетворяется, если x ≤ -8 или -5 ≤ x < 4. Таким образом, количество целых решений в этом случае будет бесконечным, так как для любого целого числа x, удовлетворяющего этому условию, неравенство выполняется.

3. Если оба выражения под модулями отрицательные, то неравенство будет иметь вид:

-(2x² + 11x - 40) ≤ -(x² + x - 56)

Рассмотрим каждую сторону отдельно и заметим, что минусы могут быть сокращены:

a) Для левой стороны:

2x² + 11x - 40 ≥ 0

b) Для правой стороны:

x² + x - 56 ≤ 0

Мы уже нашли корни левой стороны ранее (x = -5 и x = 4) и интервалы знаков. Сейчас остается анализировать правую сторону:

-∞ < x < -8: Выражение положительное. -8 < x < 7: Выражение отрицательное. x > 7: Выражение положительное.

Теперь, объединяя результаты, неравенство будет удовлетворено, если x ≤ -8 или -5 ≤ x < 4. Таким образом, количество целых решений в этом случае также будет бесконечным.

Итак, неравенство |2x² + 11x - 40| ≤ |x² + x - 56| имеет бесконечное количество целых решений, и все они находятся в интервалах x ≤ -8 и -5 ≤ x < 4.