Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3-3x^2-72x+3 на промежутке 3;5

Answer 1

Находим производную:
f(x)=2x³-3x²-72x+3
f'(x)=6x²-6x-72
находим критические точки:
6x²-6x-72=0
x²-x-12=0
(x+3)(x-4)=0
x₁=-3
x₂=4
 находим значение функции в критических точках:
f(-3)=2(-3)³-3(-3)²-72(-3)+3=-54-27+216+3=138
f(4)=2*4³-3*4²-72*4+3=128-48-288+3= -205
Ответ: $y_{min}(4)=-205, y_{max}(-3)=138$

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 72x + 3$ на промежутке $[3, 5]$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, которые находятся внутри заданного интервала и на его границах.
2. Оцените значение функции в этих точках, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение.

Шаг 1: Найдем критические точки функции. Для этого найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю:

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 72$

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 - 6x - 72 = 0$

Для упрощения этого уравнения мы можем разделить все его члены на 6:

$x^2 - x - 12 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его:

$(x - 4)(x + 3) = 0$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = 4$ и $x = -3$.

Шаг 2: Оцените значение функции в критических точках и на границах интервала $[3, 5]$.

a) $x = 3$: $f(3) = 2(3^3) - 3(3^2) - 72(3) + 3 = 54 - 27 - 216 + 3 = -186$

b) $x = 4$: $f(4) = 2(4^3) - 3(4^2) - 72(4) + 3 = 128 - 48 - 288 + 3 = -205$

c) $x = 5$: $f(5) = 2(5^3) - 3(5^2) - 72(5) + 3 = 250 - 75 - 360 + 3 = -182$

Таким образом, на промежутке $[3, 5]$ наименьшее значение функции $f(x)$ равно -205 (достигается в точке $x = 4$), а наибольшее значение равно -182 (достигается в точке $x = 5$).