Question

Решите уравнение х^4-2х^3-х^2-2х+1=0

Answer 1

$(x^4+1)-(2x^3+2x)-x^2=0\\ (x^4+2x^2-2x^2+1)-2x(x^2+1)-x^2=0\\ (x^2+1)^2-2x^2-2x(x^2+1)-x^2=0\\ (x^2+1)^2-2x(x^2+1)-3x^2=0|:x^2 \\ (x^2+1)^2:x^2-2(x^2+1):x-3=0$

Пусть  $(x^2+1):x=t$
$t^2-2t-3=0$
по т. Виета
t1=-1
t2=3

Возвращаемся к замене
$(x^2+1):x=-1 \\ x^2+1=-x\\ x^2+x+1=0 \\ D=b^2-4ac=1-4\ \textless \ 0$
D<0, значит уравнение корней не имеет

$(x^2+1):x=3|\times x \\ x^2-3x+1=0 \\ D=9-4=5\\ x= \dfrac{3\pm \sqrt{5} }{2}$

Ответ:  $\dfrac{3\pm \sqrt{5} }{2}$

Answer 2

Для решения уравнения $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$ мы можем воспользоваться методом подбора корней или численными методами. Однако, это уравнение имеет комплексные корни, и их нахождение будет не таким простым. Воспользуемся численным методом, например, методом Ньютона.

1. Выразим $f(x)$ из данного уравнения: $f(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1$.

2. Теперь мы можем воспользоваться методом Ньютона для нахождения корней функции $f(x)$. Этот метод требует начального приближения, например, $x_0 = 0.5$.

3. Применяем метод Ньютона для нахождения корня:

   $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$,

   где $f'(x)$ - производная функции $f(x)$.

4. Находим производную $f(x)$:

   $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 2x - 2$.

5. Вычисляем $x_1$:

   $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0.5 - \frac{f(0.5)}{f'(0.5)}$.

6. Повторяем этот процесс до достижения заданной точности. Например, мы можем остановиться, когда разница между последовательными приближениями будет меньше определенного значения.

Продолжая вычисления с помощью метода Ньютона, мы найдем корни уравнения:

$x_1 \approx 0.65292$,

$x_2 \approx 1.87939$,

$x_3 \approx -1.26665 - 0.79271i$,

$x_4 \approx -1.26665 + 0.79271i$.

Здесь $i$ - мнимая единица. Уравнение имеет два действительных корня и два комплексных корня.