Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение: fʾ(х)˃0, если f(х)=х2-6х-8lnx Заранее, спасибо.

Answer 1

Производная от  $\ln x$  есть  $\frac{1}{x}$
 Вычислим производную функции
$f'(x)=(x^2)'-(6x)'-(8\ln x)'=2x-6- \frac{8}{x}$
 По условию  $f'(x)\ \textgreater \ 0$, значит получаем
$2x-6- \frac{8}{x}\ \textgreater \ 0$
  Рассмотрим функцию
$y=2x-6- \frac{8}{x}$
Область определения ее:  $x\ne0$
$D(y)=(-\infty;0)\cup (0;+\infty)$
 Приравняем функцию к нулю
$y=0;\,\, 2x-6- \frac{8}{x}=0|\cdot x$
 Умножив к обеим частям, получаем квадратное уравнение
$2x^2-6x-8=0|:2\\ x^2-3x-4=0$
 По т. Виета:  $x_1=-1;\,\,\,\,\,\,\, x_2=4$

___-___|___+___|__-___|____+__
            -1           0         4
Решение неравенства будет  $x \in (-1;0)\cup(4;+\infty)$


Окончательный ответ:  $(-1;0)\cup(4;+\infty)$

Answer 2

Для решения данного уравнения нужно найти производную функции f(x) и найти интервалы, на которых она положительна.

Сначала найдем производную функции f(x):

f(x) = x^2 - 6x - 8ln(x)

f'(x) = 2x - 6 - 8/x

Теперь мы хотим найти интервалы, на которых производная f'(x) положительна. Для этого приравняем f'(x) к нулю и найдем его корни:

2x - 6 - 8/x = 0

Умножим обе стороны на x, чтобы избавиться от дроби:

2x^2 - 6x - 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 2, b = -6, и c = -8. Подставим значения:

x = (6 ± √((-6)² - 4 * 2 * (-8))) / (2 * 2)

x = (6 ± √(36 + 64)) / 4

x = (6 ± √100) / 4

x = (6 ± 10) / 4

Теперь найдем два значения x:

1. x₁ = (6 + 10) / 4 = 16 / 4 = 4
2. x₂ = (6 - 10) / 4 = -4 / 4 = -1

Таким образом, у нас есть две точки, где производная f'(x) равна нулю: x₁ = 4 и x₂ = -1.

Теперь разберемся с интервалами. Мы можем взять три интервала:

1. x < -1
2. -1 < x < 4
3. x > 4

Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов:

1. Для x < -1: Подставим x = -2 в f'(x):

   f'(-2) = 2*(-2) - 6 - 8/(-2) = -4 - 6 + 4 = -6

   Производная f'(x) отрицательна на этом интервале.

2. Для -1 < x < 4: Подставим x = 0 в f'(x):

   f'(0) = 2*0 - 6 - 8/0 (выражение неопределено из-за деления на 0)

   Здесь производная не существует.

3. Для x > 4: Подставим x = 5 в f'(x):

   f'(5) = 2*5 - 6 - 8/5 = 10 - 6 - 1.6 = 2.4

   Производная f'(x) положительна на этом интервале.

Итак, производная f'(x) положительна на интервале x > 4. Таким образом, уравнение f'(x) > 0 выполняется на интервале x > 4.