Question

Найдите точку минимума функции y=(69-x)e^69-x, помогите пожалуйста, ибо эту тему не понимаю вообще, заранее спасибо)

Answer 1

(69-x)e^(69-x)
Не вооруженным глазом будет видно, что это точка равна 69, но проверим это:
g(x)*y(x)=(y)'x*g(x)+(g)'x*y(x)
(69-x)*-1*e^(69-x)+(-1)*e^(69-x)=0
x=70
Точка минимума = 70.

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции $y = (69 - x)e^{69 - x}$, мы можем использовать производные. Минимум функции соответствует точке, где производная $y$ равна нулю, и вторая производная положительна (чтобы убедиться, что это действительно минимум, а не максимум или точка перегиба).

1. Начнем с вычисления производной $y$ по $x$: $y = (69 - x)e^{69 - x}$ $y' = \frac{d}{dx}[(69 - x)e^{69 - x}]$

Для вычисления производной $y'$ можно использовать правило производной произведения:

$y' = (69 - x) \frac{d}{dx}[e^{69 - x}] + e^{69 - x} \frac{d}{dx}[69 - x]$

Теперь вычислим производные:

$\frac{d}{dx}[e^{69 - x}] = -e^{69 - x}$ (используя производную экспоненты)

$\frac{d}{dx}[69 - x] = -1$ (производная константы равна нулю)

Теперь подставим это в выражение для $y'$:

$y' = (69 - x)(-e^{69 - x}) - e^{69 - x}(-1)$

$y' = -e^{69 - x}(69 - x + 1)$

$y' = -e^{69 - x}(70 - x)$

2. Теперь найдем точку, в которой $y' = 0$:

$0 = -e^{69 - x}(70 - x)$

Для нахождения корней уравнения, мы можем разделить обе стороны на $-e^{69 - x}$, учитывая, что экспонента всегда положительна:

$0 = 70 - x$

Теперь решим это уравнение для $x$:

$x = 70$

3. Теперь, чтобы убедиться, что это точка минимума, нам нужно проверить вторую производную $y''$. Вычислим её:

$y'' = \frac{d}{dx}[-e^{69 - x}(70 - x)]$

Для этого снова воспользуемся правилом производной произведения:

$y'' = \frac{d}{dx}[-e^{69 - x}]\cdot(70 - x) + (-e^{69 - x})\cdot\frac{d}{dx}[70 - x]$

Вычислим производные:

$\frac{d}{dx}[-e^{69 - x}] = e^{69 - x}$ (используя производную экспоненты)

$\frac{d}{dx}[70 - x] = -1$ (производная константы равна нулю)

Теперь подставим это в выражение для $y''$:

$y'' = e^{69 - x}\cdot(70 - x) + (-e^{69 - x})\cdot(-1)$

$y'' = e^{69 - x}(70 - x + 1)$

$y'' = e^{69 - x}(71 - x)$

4. Теперь подставим $x = 70$ в 0 0