Question

Разложите на множители: 1) а^8 - b^8; 2) a^16 - 256

Answer 1

A^8-b^8=(a^4)²-(b^4)²=(a^4-b^4)(a^4+b^4)
a^16-256=(a^8)²-16²=(a^8-16)(a^8+16)=((a^4)²-4^2)(a^8+16)=(a^4-4)(a^4+4)(a^8+16)=(a²-2)(a²+2)(a^4+4)(a^8+16)

Answer 2

Давайте разложим данные выражения на множители:

1. a^8 - b^8:

Данное выражение можно представить как разность квадратов, а именно (a^4)^2 - (b^4)^2. Разность квадратов можно разложить по следующей формуле: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Применяя эту формулу к исходному выражению:

a^8 - b^8 = (a^4 + b^4)(a^4 - b^4)

Теперь разберемся с каждым из двух множителей:

a^4 + b^4:

Это является суммой квадратов, и оно не может быть разложено дальше на рациональные множители, если только a и b не имеют конкретных числовых значений.

a^4 - b^4:

Это также является разностью квадратов и может быть разложено на множители по следующей формуле: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b). В данном случае:

a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)

Теперь у нас есть полное разложение:

a^8 - b^8 = (a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)

2. a^16 - 256:

Сначала мы можем представить 256 как 16^2:

a^16 - 256 = a^16 - 16^2

Теперь это также является разностью квадратов, и мы можем применить формулу разности квадратов:

a^16 - 16^2 = (a^8 + 16)(a^8 - 16)

Далее, 16 можно разложить как 4 * 4, и a^8 - 16 также является разностью квадратов:

a^8 - 16 = (a^4 + 4)(a^4 - 4)

И здесь a^4 - 4 также может быть разложено как разность квадратов:

a^4 - 4 = (a^2 + 2)(a^2 - 2)

Теперь у нас есть полное разложение:

a^16 - 256 = (a^8 + 16)(a^8 - 16) = (a^8 + 16)(a^4 + 4)(a^2 + 2)(a^2 - 2)