Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=cos*(п/6-2x) в точке x=п/2. Как это сделать? Учитель нам этого подробно не объясняла, помогите!

Answer 1

Пишем уравнение касательной в общем виде:
у - у0 = f'(x0)(x - x0)
Выделенные компоненты надо найти. Что это за компоненты?
(х0;у0) - это точка касания
f'(x0) - это значение производной   в точке касания)
Будем искать.
х0 = π/2
у0 = Сos(π/6 - 2*π/2) = Сos(π/6 - π) = Cosπ/6 = √3/2
f'(x) = 2Sin(π/6 - 2x)
f'(π/2 ) = 2Sin(π/6 - 2 * π/2) = 2Sin(π/6 - π) = -2Sinπ/6 = -2*1/2 = -1
Всё нашли. Осталось подставить.
у - √3/2 = -1*(х - π/2
у - √3/2 = -х +π/2
у = - х +π/2 + √3/2

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции $y = \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную данной функции. Для этого используем правило дифференцирования композиции функций:

$$\frac{dy}{dx} = -2\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$$

2. Теперь найдем значение производной в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$$\frac{dy}{dx} \Bigg|_{x=\frac{\pi}{2}} = -2\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\cdot\frac{\pi}{2}\right) = -2\sin\left(\frac{\pi}{6} - \pi\right)$$

3. Упростим это значение:

\frac{dy}{dx} \Bigg|_{x=\frac{\pi}{2}} = -2\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 2\sin\left(\frac{5\pi}{6}\)

4. Теперь мы знаем значение производной в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Используем это значение, а также точку \left(\frac{\pi}{2}, \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2\cdot\frac{\pi}{2}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{2}, \cos\left(\frac{\pi}{6} - \pi\right) для создания уравнения касательной в форме $y = mx + b$, где $m$ - это значение производной, а $b$ - значение функции в данной точке:

y = 2\sin\left(\frac{5\pi}{6}\) \cdot x + \cos\left(\frac{\pi}{6} - \pi\right)

Теперь у вас есть уравнение касательной к графику функции $y = \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$.