Question

Не выполняя графика, найдите координаты точек пересечения окружности 2х^2+у^2=3; и прямой х-2у=1

Answer 1

2х²+у²=3; х-2у=1; х=1+2у; 2(1+2у)²+у²=3; 2(1+4у+4у²)+у²=3; 2+8у+8у²+у²-3=0; 9у²+8у-1=0; D=8²-4*9*(-1)=64+36=100; у₁=(-8-10)/18=-1; у₂=(-8+10)/18=1/9. Теперь найдем значения х, х₁=1+2(-1)=-1; х₂=1+2*(1/9)=11/9. Ответ координаты точек пересечения (-1;-1) и (11/9;1/9).

Answer 2

Чтобы найти точки пересечения окружности и прямой, нужно решить систему уравнений:

1. Уравнение окружности: 2x^2 + y^2 = 3
2. Уравнение прямой: x - 2y = 1

Для начала, выразим x из уравнения прямой:

x = 1 + 2y

Теперь подставим это выражение для x в уравнение окружности:

2(1 + 2y)^2 + y^2 = 3

Раскроем скобки:

2(1 + 4y + 4y^2) + y^2 = 3

Упростим уравнение:

2 + 8y + 8y^2 + y^2 = 3

Сгруппируем члены:

9y^2 + 8y - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться дискриминантом (D) для нахождения корней:

D = b^2 - 4ac где a = 9, b = 8 и c = -1.

D = 8^2 - 4 * 9 * (-1) = 64 + 36 = 100

Теперь используем квадратный корень из D, чтобы найти два значения y:

y1 = (-b + √D) / (2a) = (-8 + √100) / (2 * 9) = (-8 + 10) / 18 = 2/18 = 1/9 y2 = (-b - √D) / (2a) = (-8 - √100) / (2 * 9) = (-8 - 10) / 18 = -18/18 = -1

Теперь, когда у нас есть два значения y, мы можем найти соответствующие значения x, используя уравнение x = 1 + 2y:

Для y = 1/9: x1 = 1 + 2 * (1/9) = 1 + 2/9 = 11/9

Для y = -1: x2 = 1 + 2 * (-1) = 1 - 2 = -1

Итак, у нас есть две точки пересечения окружности и прямой:

1. (x1, y1) = (11/9, 1/9)
2. (x2, y2) = (-1, -1)

Answer 3

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности и прямой, нужно решить систему уравнений:

1. Уравнение окружности: $2x^2 + y^2 = 3$.
2. Уравнение прямой: $x - 2y = 1$.

Сначала выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 2y + 1$.

Теперь подставим это значение $x$ в уравнение окружности:

$2(2y + 1)^2 + y^2 = 3$.

Раскроем скобки:

$2(4y^2 + 4y + 1) + y^2 = 3$.

Упростим уравнение:

$8y^2 + 8y + 2 + y^2 = 3$.

Объединим подобные члены:

$9y^2 + 8y - 1 = 0$.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $y$. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Где в данном случае $a = 9$, $b = 8$, и $c = -1$.

Рассчитаем дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 8^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$.

Теперь выразим $y$ с учетом двух возможных решений:

1. $y_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{1}{9}$.
2. $y_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 - 10}{18} = -1$.

Теперь, используя значения $y_1$ и $y_2$, найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x = 2y + 1$:

1. Для $y_1$: $x_1 = 2 \cdot \frac{1}{9} + 1 = \frac{2}{9} + \frac{9}{9} = \frac{11}{9}$.

2. Для $y_2$: $x_2 = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$.

Итак, у нас есть две пары координат точек пересечения:

1. \left(\frac{11}{9}, \frac{1}{9})
2. $(-1, -1)$