Question

Докажите,что выражение (7y^2-9y+8)-(3y^2-6y+4)+3y принимает положительное значение при любом значении y. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении y.

Answer 1

Преобразовав выражение, мы получаем
4y^2+4 - При любом у - положительное( потому что у стоит в квадрате)
Наименьшее значение = 4, при у = 0

Answer 2

7y² - 9y + 8 - 3y² + 6y - 4 + 3y = 4y² - 3y + 3y + 4 = 4y² + 4
Данное выражение принимает положительное значение при любом значении y, так как y² - всегда будет положительным.
 При y = 0 - принимает наименьшее значение.

Answer 3

Для доказательства того, что выражение (7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y принимает положительное значение при любом значении y, мы можем просто раскрыть скобки и упростить его:

(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y

Раскроем скобки и объединим подобные члены:

7y^2 - 9y + 8 - 3y^2 + 6y - 4 + 3y

Теперь упростим слагаемые:

(7y^2 - 3y^2) + (-9y + 6y + 3y) + (8 - 4)

4y^2 - 9y + 8 - 4

4y^2 - 9y + 4

Это квадратное выражение 4y^2 - 9y + 4 всегда положительно для любого значения y, потому что коэффициент при квадрате y равен 4, что больше нуля. Таким образом, данное выражение принимает положительное значение при любом значении y.

Теперь найдем наименьшее значение этого выражения и соответствующее значение y. Для этого можно воспользоваться производными. Для нахождения минимума функции 4y^2 - 9y + 4, возьмем производную и приравняем ее к нулю:

d/dy (4y^2 - 9y + 4) = 0

8y - 9 = 0

8y = 9

y = 9/8

Теперь, чтобы найти соответствующее значение функции, подставим y = 9/8:

4(9/8)^2 - 9(9/8) + 4

4(81/64) - 81/8 + 4

81/16 - 81/8 + 4

(81/16 - 162/16) + 4

-81/16 + 4

Для нахождения наименьшего значения этого выражения, вычитаем отрицательное число из 4:

4 - 81/16 = 64/16 - 81/16 = (64 - 81)/16 = -17/16

Итак, наименьшее значение этого выражения равно -17/16, и оно достигается при y = 9/8.