Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції: f(x)=x⁴-2x³

Answer 1

$f(x)=x^4-2x^3 \\ f'(x)=4x^3-6x^2$

Функция возрастает когда
f'(x)>0
и убывает когда
f'(x)<0

$4x^3-6x^2\ \textgreater \ 0 \\ 2x^2(2x-3x)\ \textgreater \ 0(:2) \\ x^2(2x-3x)\ \textgreater \ 0 \\ \\ x=0 \\ x=3/2$
x∈(3/2;+∞)

$4x^3-6x^2\ \textless \ 0$
x∈(-∞;0)∪(0;3/2)

функция f(x) возрастает в промежутке
x∈(3/2;+∞)

и убывает в промежутке
x∈(-∞;0)∪(0;3/2)

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання і спадання функції f(x) = x⁴ - 2x³, спершу знайдемо її похідну та точки, де похідна дорівнює нулю. Після цього ми зможемо визначити проміжки зростання і спадання функції.

Крок 1: Знайдемо похідну функції f(x): f(x) = x⁴ - 2x³

f'(x) = d/dx (x⁴ - 2x³)

Застосовуємо правило потужності та правило диференціювання суми:

f'(x) = 4x³ - 6x²

Крок 2: Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю:

4x³ - 6x² = 0

Ділимо обидві сторони на 2 для спрощення:

2x³ - 3x² = 0

Тепер факторизуємо:

x²(2x - 3) = 0

Отримуємо дві можливі значущі точки:

1. x² = 0 x = 0

2. 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3/2

Крок 3: Перевіримо знаки похідної f'(x) між цими точками:

Діапазон (-∞, 0): Виберемо значення x = -1 (виберемо від'ємне значення між -∞ і 0): f'(-1) = 4(-1)³ - 6(-1)² = -4 - 6 = -10

Діапазон (0, 3/2): Виберемо значення x = 1 (виберемо додатне значення між 0 і 3/2): f'(1) = 4(1)³ - 6(1)² = 4 - 6 = -2

Діапазон (3/2, +∞): Виберемо значення x = 2 (виберемо додатне значення більше 3/2): f'(2) = 4(2)³ - 6(2)² = 32 - 24 = 8

Зараз ми можемо зробити висновок:

• Функція f(x) спадає на інтервалах (-∞, 0) і (3/2, +∞).
• Функція f(x) зростає на інтервалі (0, 3/2).

Це - проміжки зростання і спадання функції f(x) = x⁴ - 2x³.