Question

Найти: 1) стационарные точки 2) экстрем 3)наименьш и наибольш 4)нарис график y=x^3-6x^2+9 на отрезке [-2;2]:

Answer 1

Y=x³-6x²+9
y`=3x²-12x=3x(x-4)=0
x=0  x=4
  +                 _                  +
---------(0)--------------(4)--------------
          max               min
унаиб=9
унаим=64-96+9=-23

Answer 2

Для данной функции y = x^3 - 6x^2 + 9, мы можем найти стационарные точки, экстремумы, наименьшее и наибольшее значение на заданном отрезке [-2; 2].

1. Сначала найдем производную функции:

y' = 3x^2 - 12x

2. Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 - 12x = 0

Вынесем общий множитель 3x:

3x(x - 4) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения x для стационарных точек:

a) 3x = 0 => x = 0 b) x - 4 = 0 => x = 4

Теперь, найдем соответствующие значения y:

a) При x = 0: y = 0^3 - 60^2 + 9 = 9 b) При x = 4: y = 4^3 - 64^2 + 9 = 25 - 96 + 9 = -62

Таким образом, у нас есть две стационарные точки: (0, 9) и (4, -62).

3. Чтобы найти экстремумы, нужно определить характер изменения производной в окрестности каждой стационарной точки. Для этого воспользуемся второй производной:

y'' = 6x - 12

a) Для точки (0, 9): y''(0) = 6*0 - 12 = -12 Поскольку вторая производная отрицательна, это указывает на максимум.

b) Для точки (4, -62): y''(4) = 6*4 - 12 = 24 - 12 = 12 Поскольку вторая производная положительна, это указывает на минимум.

Таким образом, точка (0, 9) является максимумом, а точка (4, -62) - минимумом.

4. Чтобы нарисовать график функции y = x^3 - 6x^2 + 9 на отрезке [-2; 2], давайте построим график:

[Вставьте график функции y = x^3 - 6x^2 + 9 на отрезке [-2; 2]]

На графике вы увидите, как функция проходит через стационарные точки (0, 9) и (4, -62) и как у нее есть максимум и минимум на этом отрезке.