Question

Функция y=log0,9(0,1x−3) (логарифм 0,1х-3 по основанию 0,9) является убывающей или возрастающей? И найти область определения функции.

Answer 1

Функция является убывающей, т.к. основание логарифма меньше 1.
D(y) - область определения: 0,1x - 3 > 0
0,1x > 3
x > 30
D(y) = (30; +бесконечность)

Answer 2

Для определения убывания или возрастания функции, вы должны рассмотреть производную функции и анализировать её знак в определенных интервалах. В данном случае у нас есть функция $y = \log_{0.9}(0.1x - 3)$. Чтобы найти область определения функции, начнем с того, чтобы определить, в каких случаях под логарифмом будет неположительное число.

Выражение $0.1x - 3$ должно быть больше нуля, иначе аргумент логарифма будет отрицательным или равным нулю. Решим неравенство:

$0.1x - 3 > 0$

$0.1x > 3$

$x > 30$

Таким образом, область определения функции - это все значения $x$, большие 30.

Чтобы определить убывание или возрастание функции, найдем производную функции $y$ по $x$. Производная логарифмической функции $\log_{a}(x)$ равна $\frac{1}{x\ln(a)}$. В данном случае, производная функции $y$ будет:

$y' = \frac{1}{(0.1x - 3)\ln(0.9)}$

Так как $\ln(0.9)$ отрицательно, производная будет положительной при $x < 30$, и отрицательной при $x > 30$. Таким образом, функция $y$ убывает при $x < 30$ и возрастает при $x > 30$.