Question

15 б Найдите сумму всех целых решений неравенства: 1) х³+2х²+7 / 7-х ≥ 1 2) х³+17х / х+8 ≤ 2х

Answer 1

1)
$\frac{x^3+2x^2+7}{ 7-x} \geqslant 1\newline \frac{x^3+2x^2+7}{ 7-x} -1 \geqslant 0=\ \textgreater \ \left \{ {{x^3+2x^2+7-7+x\geqslant 0} \atop {7-x\not=0}} \right.=\ \textgreater \ \newline \left \{ {{x^3+2x^2+x\geqslant 0} \atop {x\not=(-7)}} \right. x^3+2x^2+x\geqslant 0 \newline x(x^2+2x+1)\geqslant 0\newline x\geqslant 0\newline x^2+2x+1\geqslant 0\newline x\geqslant -1 0+(-1)=-1$

2) $\frac{x^3+17x} {x+8} \leqslant 2x =\ \textgreater \ \frac{x^3+17x} {x+8}-2x \leqslant 0 =\ \textgreater \ \frac{x^3+17x-2x^2-16x} {x+8} \leqslant 0 =\ \textgreater \ \newline \frac{x^3+-2x^2+x} {x+8} \leqslant 0\newline x\not=-8 x(x^2-2x+1)\leqslant 0 x\leqslant 0 x\leqslant 1 0+1=1$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1. $\frac{x^3 + 2x^2 + 7}{7 - x} \geq 1$

Сначала преобразуем неравенство:

$\frac{x^3 + 2x^2 + 7}{7 - x} \geq 1$

Умножим обе стороны на $7 - x$ (учтем, что $7 - x$ не должно быть равно нулю):

$(x^3 + 2x^2 + 7)(7 - x) \geq 7 - x$

$x^3 + 2x^2 + 7x^2 - x^4 + 7(7 - x) \geq 7 - x$

$x^3 + 9x^2 - x^4 + 49 - 7x \geq 7 - x$

Теперь упростим это неравенство:

$x^3 + 9x^2 - x^4 + 49 - 7x \geq 7 - x$

$x^3 + 9x^2 - x^4 + 49 - 7x - 7 + x \geq 0$

$-x^4 + x^3 + 9x^2 - 7x + 42 \geq 0$

Теперь найдем целые решения этого уравнения. Мы можем применить метод подстановки и проверить различные значения $x$, начиная с минимального:

При $x = -1$ левая сторона равна 0, что не удовлетворяет неравенству.

При $x = 0$ левая сторона равна 42, что удовлетворяет неравенству.

При $x = 1$ левая сторона равна 44, что также удовлетворяет неравенству.

Таким образом, целые решения этого неравенства - это $x = 0$ и $x = 1$. Теперь найдем сумму этих решений:

Сумма: $0 + 1 = 1$.

2. $\frac{x^3 + 17x}{x + 8} \leq 2x$

Преобразуем это неравенство:

$\frac{x^3 + 17x}{x + 8} \leq 2x$

Умножим обе стороны на $x + 8$ (учтем, что $x + 8$ не должно быть равно нулю):

$(x^3 + 17x)(x + 8) \leq 2x(x + 8)$

$x^4 + 8x^3 + 17x^2 + 8x^2 + 136x \leq 2x^2 + 16x$

$x^4 + 8x^3 + 25x^2 + 136x \leq 2x^2 + 16x$

$x^4 + 8x^3 + 23x^2 + 136x \leq 0$

Теперь найдем целые решения этого уравнения. Мы можем применить метод подстановки и проверить различные значения $x$, начиная с минимального:

При $x = -1$ левая сторона равна 112, что не удовлетворяет неравенству.

При $x = 0$ левая сторона равна 0, что удовлетворяет неравенству.

При $x = 1$ левая сторона равна 168, что также не удовлетворяет неравенству.

Поэтому целое решение этого неравенства - это $x = 0$. Теперь найдем сумму этого решения:

Сумма: $0$.

Итак, сумма всех целых решений первого неравенства равна 1, а второго неравенства равна 0.