Question

Помогите! Доказать тождество 4b²c² - (b² + c² - a²)² = (a + b + c)(a - b + c)(b + c - a)

Answer 1

Выражение при преобразования имеет такой вид. 4 множителя, не три.

Answer 2

Конечно, давайте разберемся в этом тождестве. Начнем с левой стороны:

$4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2$

Раскроем квадрат внутри:

$4b^2c^2 - (b^4 + c^4 + a^4 - 2b^2c^2 - 2a^2b^2 + 2a^2c^2)$

Теперь объединим подобные члены:

$4b^2c^2 - b^4 - c^4 - a^4 + 2b^2c^2 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2$

Теперь сгруппируем члены:

$(2b^2c^2 + 2a^2b^2) + (4b^2c^2 - b^4 - c^4 - a^4 - 2a^2c^2)$

Факторизуем выделенные члены:

$2b^2(a^2 + c^2) + (2bc + a^2 - c^2)(2bc - a^2 - c^2)$

Теперь рассмотрим правую сторону тождества:

$(a + b + c)(a - b + c)(b + c - a)$

Раскроем скобки:

$(a^2 - b^2 + c^2 - ab + ac + bc)(b + c - a)$

$(a^2 - b^2 + c^2)(b + c - a) - (ab - ac - bc)(b + c - a)$

$(a^2 - b^2 + c^2)(b + c - a) - (a - b)(a + b)(b + c - a)$

Теперь сгруппируем члены:

$(a^2 - b^2 + c^2)(b + c - a) - (a - b)(a + b)(c - b)$

Теперь раскроем скобки:

$(a^2b + ac^2 - b^3 - b^2c + abc + bc^2) - (a^2 - ab + ab - b^2)$

Снова сгруппируем члены:

$a^2b + ac^2 - b^3 - b^2c + abc + bc^2 - a^2 + ab - ab + b^2$