Question

Пусть а+в+с=2р докажите что 4b²c²-(b²+с²-a²)²=16p(p-a)(p-b)(p-c)

Answer 1

p = (a+b+c)/2

p-a = (b+c-a)/2

p-b = (a+c-b)/2

p-с = (a+b-c)/2

16p(p-a)(p-b)(p-c) =

(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =

((b+c)²- a²)(a²-(b-c)²) =

(b+c)²a² - a⁴ - (b+c)²(b-c)² + a²(b-c)² =

b²a² + 2a²bc + c²a² - a⁴ - (b²-c²)² + a²b² - 2a²bc + a²c² =

2a²b² + 2a²c² - a⁴ - b⁴ + 2b²c² - c⁴ =

- (b⁴ + c⁴ + a⁴ - 2b²c² - 2a²b² - 2a²c²) =

- (b⁴ + c⁴ + a⁴ + 2b²c² - 2a²b² - 2a²c² - 4b²c²) =

- ((b² + c² - a²)² - 4b²c²) =  

4b²c² - (b² + c² - a²)²

Answer 2

Для начала, давайте выразим a, b и c через p. Мы знаем, что a + b + c = 2p. Теперь рассмотрим формулу Герона для площади треугольника:

Пусть p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2), тогда его площадь S равна:

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c))

Теперь давайте выразим a, b и c через p:

a = 2p - (b + c) b = 2p - (a + c) c = 2p - (a + b)

Теперь давайте заменим a, b и c в левой части равенства:

4b²c² - (b² + c² - a²)²

4(2p - (a + c))²(2p - (a + b))² - ((2p - (a + b))² + (2p - (a + c))² - (2p - (b + c))²)²

Теперь упростим это выражение:

4(2p - (a + c))²(2p - (a + b))² - ((2p - (a + b))² + (2p - (a + c))² - (2p - (b + c))²)²

4(2p - a - c)²(2p - a - b)² - ((2p - a - b)² + (2p - a - c)² - (2p - b - c)²)²

Теперь, давайте воспользуемся тем, что a + b + c = 2p, чтобы упростить выражение еще дальше:

4(2p - a - c)²(2p - a - b)² - ((2p - a - b)² + (2p - a - c)² - (2p - b - c)²)²

4(2p - 2p + b)²(2p - 2p + c)² - ((2p - 2p + b)² + (2p - 2p + c)² - (2p - b - c)²)²

4b²c² - (b² + c² - a²)²

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства равна правой части:

4b²c² - (b² + c² - a²)² = 16p(p - a)(p - b)(p - c)