Question

Помогите, пожалуйста, решить экспоненциальные уравнения (b) 2^(x+1) +2^(x−1) = 20 (c) 3^(2x−2) +3^(x−1) = 12 (e) 3^(x+2) +3^(x+1)+3^3 +3^(x−1) = 120

Answer 1

2ˣ⁺¹+2ˣ⁻¹=20
2*2ˣ+2ˣ/2=20  |×2
4*2ˣ+2ˣ=40
5*2ˣ=40  |÷5
2ˣ=8
2ˣ=2³
x=3.
Ответ: x=3.

3²ˣ⁻²+3ˣ⁻¹=12
3²ˣ/3²+3ˣ/3=12
3²ˣ/9+3ˣ/3=12  ×9
3²ˣ+3*3ˣ=108
3²ˣ+3*3ˣ-108=0
Пусть 3ˣ=t>0    ⇒
t²+3t-108=0    D=441   √D=21
t₁=-12 ∉
t₂=9   ⇒
3ˣ=9
3ˣ=3²
x=2.
Ответ: x=2.

3ˣ⁺²+3ˣ⁺¹+3ˣ+3ˣ⁻¹=120
9*3ˣ+3*3ˣ+3ˣ+3ˣ/3=120
13*3ˣ+3ˣ/3=120   |×3
39*3ˣ+3ˣ=360
40*3ˣ=360  |÷40
3ˣ=9
3ˣ=3²
x=2.
Ответ: x=2.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из этих экспоненциальных уравнений по очереди и найдем их решения.

(b) 2^(x+1) + 2^(x-1) = 20

Сначала мы можем упростить уравнение, выделив общий множитель 2^(x-1):

2^(x-1) * (2^2 + 1) = 20

2^(x-1) * (4 + 1) = 20

2^(x-1) * 5 = 20

Теперь делим обе стороны на 5:

2^(x-1) = 4

Далее, выразим 2 в степени x-1 как 2^2:

2^(x-1) = 2^2

Теперь, сравнивая показатели степени, мы получаем:

x - 1 = 2

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

x = 3

Ответ: x = 3.

(c) 3^(2x-2) + 3^(x-1) = 12

Сначала мы можем упростить уравнение, выделив общий множитель 3^(x-1):

3^(x-1) * (3^(x-1) + 3^1) = 12

3^(x-1) * (3^(x-1) + 3) = 12

Теперь делим обе стороны на 3:

3^(x-1) * (3^(x-1) + 3) = 4

Мы видим, что 3^(x-1) * 3^(x-1) = (3^(x-1))^2, поэтому можно записать уравнение следующим образом:

(3^(x-1))^2 + 3^(x-1) = 4

Теперь введем временную переменную, скажем, t = 3^(x-1):

t^2 + t = 4

Теперь это квадратное уравнение. Решим его:

t^2 + t - 4 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного уравнения:

(t - 1)(t + 4) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения t:

1. t - 1 = 0, что дает t = 1
2. t + 4 = 0, что дает t = -4

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

1. 3^(x-1) = 1

Теперь мы знаем, что 3^0 = 1, поэтому:

x - 1 = 0

x = 1

2. 3^(x-1) = -4

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как 3 в любой степени всегда положительно. Таким образом, это уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: x = 1.

(e) 3^(x+2) + 3^(x+1) + 3^3 + 3^(x-1) = 120

Сначала упростим уравнение, выделив общий множитель 3^(x-1):

3^(x-1) * (3^3 + 3^2 + 3^1 + 3^(-1)) = 120

3^(x-1) * (27 + 9 + 3 + 1/3) = 120

Теперь сложим числа в скобках:

3^(x-1) * (40 + 1/3) = 120

3^(x-1) * (121/3) = 120

Теперь делим обе стороны на (121/3):

3^(x-1) = (120 * 3) / 121

3^(x-1) = 360 / 121

Теперь можно записать 360 как 3^2 * 4:

3^(x-1) = (3^2 * 4) / 121

3^(x-1) = (3^2 * 4) / (11^2)

3^(x-1) = (3^2 * 4) / (11^2)

Теперь сравним показатели степени:

x - 1 = 2

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

x = 3

Ответ: x = 3.