Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной пораболой y=-x^2+4 и прямой y=4-x

Answer 1

Площадь находим через интегральчики:

1. Находим площадь фигуры, ограниченной сверху параболой

2. Находим площадь фигуры, ограниченной сверху прямой

3. Вычитаем из S1 - S2

1) икс для первой фигуры изменяется от -2 до 1, фигуру сверху ограничивает парабола у=4-х^2

Находим площадь S1= int (-2 ; 1) (4-х^2) dx = (4x - x^3 \3) | (-2;1) =4-1\3 - (-8 -( -8/3) = 27/3 = 9 (cм^2)

2) икс для второй фигуры изменяется от -2 до 1

Находим площадь S2= int(-2 ; 1) (2+x) dx = (2x + x^2 \2) | (-2;1) = 2 + 1\2 - (-4+2) = 4,5

P.S Можно найти просто через формулу площади треугольника S=1\2 a*b= 1\2 * 3* 3 = 4,5 (см^2)

3) S=S1 - S2 = 9 - 4,5 = 4,5 см^2

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, вам нужно найти точки их пересечения, а затем взять интеграл разности их функций по оси x в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения кривых:

1. Поставим уравнения y = -x^2 + 4 и y = 4 - x равными друг другу: -x^2 + 4 = 4 - x

2. Переносим все члены на одну сторону уравнения: -x^2 + 4 - 4 + x = 0

3. Упрощаем уравнение: -x^2 + x = 0

4. Факторизуем: x(x - 1) = 0

Из этого уравнения мы получаем два корня: x = 0 и x = 1.

Теперь, чтобы найти площадь между этими двумя кривыми, вычислим интеграл разности функций в пределах от x = 0 до x = 1:

∫[0 to 1] (4 - x - (-x^2 + 4)) dx

Раскроем скобки и упростим:

∫[0 to 1] (x^2 - x) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

∫[0 to 1] (x^2 - x) dx = [x^3/3 - x^2/2] |[0 to 1]

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

(1^3/3 - 1^2/2) - (0^3/3 - 0^2/2)

Вычисляем значения:

(1/3 - 1/2) - (0 - 0) = (1/3 - 1/2) = (-1/6)

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 4 и y = 4 - x, равна 1/6 квадратных единиц (или 1/6 квадратных у.е.).