Question

Найти площадь фигуры ограниченной пораболой y=x в квадрате+1 и прямой y=x+3

Answer 1

См фото + решение
=======================================

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2 в квадрате 1 и прямой y=x+3, мы можем разделить эту фигуру на две части и вычислить площадь каждой из них.

Часть 1: Площадь ниже параболы

Сначала найдем точки пересечения параболы y=x^2 и прямой y=x+3. Для этого приравняем уравнения и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 = x + 3

Перенесем все члены в одну сторону и получим:

x^2 - x - 3 = 0

Затем решим это квадратное уравнение. Используя формулу дискриминанта, получим:

D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два вещественных корня:

x = (-(-1) ± √13) / (2*1) x = (1 ± √13) / 2

Итак, точки пересечения параболы и прямой будут:

A: (1 + √13) / 2 B: (1 - √13) / 2

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой ниже параболы. Для этого возьмем интеграл от x = A до x = B от функции параболы минус функции прямой:

S1 = ∫[A,B] (x^2 - (x+3)) dx

Вычислим этот интеграл:

S1 = ∫[(1 - √13) / 2, (1 + √13) / 2] (x^2 - (x+3)) dx

S1 = ∫[(1 - √13) / 2, (1 + √13) / 2] (x^2 - x - 3) dx

S1 = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 3x |[(1 - √13) / 2, (1 + √13) / 2]

S1 = [(1/3)((1 + √13) / 2)^3 - (1/2)((1 + √13) / 2)^2 - 3((1 + √13) / 2)] - [(1/3)((1 - √13) / 2)^3 - (1/2)((1 - √13) / 2)^2 - 3((1 - √13) / 2)]

S1 = [(1/3)((1 + √13)^3 / 8) - (1/2)((1 + √13)^2 / 4) - 3((1 + √13) / 2)] - [(1/3)((1 - √13)^3 / 8) - (1/2)((1 - √13)^2 / 4) - 3((1 - √13) / 2)]

Часть 2: Площадь над параболой

Теперь найдем точки пересечения параболы y=x^2 и прямой y=x+3 выше параболы. Для этого приравняем уравнения и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 = x + 3

Перенесем все члены в одну сторону и получим:

x^2 - x - 3 = 0

Затем решим это квадратное уравнение. Используя формулу дискриминанта, получим:

D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два вещественных корня:

x = (-(-1) ± √13) / (2*1) x = (1 ± √13) / 2

Итак, точки пересечения параболы и прямой будут:

C: (1 + √13) / 2 D: (1 - √13) / 2

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой над параболой. Для этого возьмем интеграл от x = B до x = C от функции параболы минус функции прямой:

S2 = ∫[B,C] (x^2 - (x+3)) dx

Вычислим этот интеграл:

S2 = ∫[(1 - √13) / 2, (1 + √13) / 2] (x^2 - (x+3)) dx

S2 = ∫[(1 - √13) / 2, (1 + √13) / 2] (x^2 - x - 3) dx

S2 = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 3x |[(1 - √13) / 2, (1 + √13) / 2]

S2 = [(1/3)((1 + √13) / 2)^3 - (1/2)((1 + √13) / 2)^2 - 3((1 + √13) / 2)] - [(1/3)((1 - √13) / 2)^3 - (1/2)((1 - √13) / 2)^2 - 3((1 - √13) / 2)]

S2 = [(1/3)((1 + √13)^3 / 8) - (1/2)((1 + √13)^2 / 4) - 3((1 + √13) / 2)] - [(1/3)((1 - √13)^3 / 8) - (1/2)((1 - √13)^2 / 4) - 3((1 - √13) / 2)]

Общая площадь фигуры

Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2 в квадрате 1 и прямой y=x+3, мы просто сложим площади частей 1 и 2:

S = S1 + S2

Таким образом, мы можем использовать найденные выражения для S1 и S2, чтобы вычислить общую площадь фигуры.