Question

Исследовать функцию на экстремумы y=x^3+3x^2-9x+1

Answer 1

У=х³+3х²-9х+1
у'=3х²+6х-9;у'=0
3х²+6х-9=0
х²+2х-3=0
Д=4+12=16=4²
х=(-2±4)/2
х1=-3;х2=1
у'>0 функция возрастает
у'<0 функция убывает
х²+2х-3>0
(-бес;-3)+(1;+бес) функция возрастает
(-3;1) функция убывает
____+____-3____-_____1____+
х1=-3 максимум
х2= минимум

Answer 2

Решение дано на фото.

Answer 3

Для исследования функции y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 на экстремумы, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по x.
2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Используем тест на вторую производную, чтобы определить, являются ли эти критические точки точками минимума, максимума или седловыми точками.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x:

y' = 3x^2 + 6x - 9

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для упрощения, разделим его на 3:

x^2 + 2x - 3 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения, используя квадратное уравнение:

(x + 3)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два корня:

x1 = -3 x2 = 1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x1 = -3 и x2 = 1.

Шаг 3: Теперь используем тест на вторую производную, чтобы определить тип каждой из этих критических точек.

Для этого вычислим вторую производную функции:

y'' = 6x + 6

Теперь подставим значения x1 = -3 и x2 = 1 во вторую производную:

y''(x1) = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12 y''(x2) = 6(1) + 6 = 6 + 6 = 12

Теперь анализируем результаты:

1. Для x1 = -3, y''(x1) = -12 < 0. Это означает, что в точке x1 у нас есть локальный максимум.

2. Для x2 = 1, y''(x2) = 12 > 0. Это означает, что в точке x2 у нас есть локальный минимум.

Итак, у функции y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 есть локальный максимум в точке (-3, f(-3)) и локальный минимум в точке (1, f(1)). Для определения значений этих экстремумов, вы можете подставить x1 и x2 обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.