Question

Напишите уравнения касательных к графику функции y=x^2-2x+3, проходящих через точку A(1/2,0). Сделайте схематический чертеж.

Answer 1

$y=x^2-2x+3; \ \ \ A=(\dfrac{1}{2}; \ 0)$

Запишем уравнения касательных в общем виде

$y'=2x-2\\ y_{kac}=x_0^2-2x_0+3+(2x_0-2)(x-x_0)=x_0^2-2x_0+3+2x_0x-2x-2x_0^2+2x_0=\\ =-x_0^2+2x_0x-2x+3$

Ищем x0

$0=-x_0^2+x_0-1+3 \\ x^2_0-x_0-2=0\\ D=1+8=9=3^2\\ x_{0}=\dfrac{1 \pm 3}{2} = \left[\begin{array}{I} 2 \\ -1 \end{array}}$

Теперь подставим x0

$y_{kac1}=-4+4x-2x+3=2x-1\\ y_{kac2}=-1-2x-2x+3=-4x+2$

Ответ: y(кас1)=2x-1, y(кас2)=-4x+2

Answer 2

Для того чтобы найти уравнения касательных к графику функции $y = x^2 - 2x + 3$, проходящих через точку A(1/2,0), мы можем использовать следующий метод:

1. Найдем производную данной функции $y = x^2 - 2x + 3$. Для этого возьмем производную по $x$:

$y' = 2x - 2$

2. Теперь мы знаем производную функции в общем виде: $y' = 2x - 2$. Чтобы найти уравнение касательной к функции в точке A(1/2,0), подставим значение $x = 1/2$ в производную:

$y'(1/2) = 2 \cdot (1/2) - 2 = 1 - 2 = -1$

3. Теперь мы знаем угловой коэффициент касательной в точке A, который равен -1. Также у нас есть координаты точки A(1/2,0).

4. Используя уравнение касательной в точечной форме $y - y_1 = m(x - x_1)$, где $m$ - угловой коэффициент, $x_1$ и $y_1$ - координаты точки, подставим значения:

$y - 0 = -1(x - 1/2)$

Упростим уравнение:

$y = -x + 1/2$

Теперь у нас есть уравнение первой касательной к функции $y = x^2 - 2x + 3$, проходящей через точку A(1/2,0).

5. Для поиска уравнения второй касательной воспользуемся тем фактом, что вторая касательная будет симметричной относительно оси симметрии функции, которая проходит через вершину параболы. Вершина параболы можно найти, найдя x-координату вершины по формуле $x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ - коэффициенты квадратного члена и линейного члена соответственно в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$.

В данном случае $a = 1$, $b = -2$, и $c = 3$:

$x_{\text{вершины}} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

Таким образом, ось симметрии параболы проходит через точку (1, что делает точку A(1/2,0) симметричной относительно этой оси.

Теперь мы знаем, что уравнение второй касательной будет иметь ту же самую наклонную линию и проходить через точку B(0,0), которая также симметрична относительно оси симметрии. Таким образом, уравнение второй касательной также будет:

$y = -x + 1/2$

Теперь у нас есть уравнения обеих касательных к графику функции $y = x^2 - 2x + 3$, проходящих через точку A(1/2,0). На схематическом чертеже обе касательные будут выглядеть как параллельные линии с одинаковым наклоном, как показано ниже:

cssCopy code
   |
  -|-------------------------------------
   |                       /\
   |                      /  \
   |                     /    \
   |                    /      \
   |                   /        \
   |                  /          \
   |                 /            \
  -|-------------------------------------
   |                       A         B

Обратите внимание, что точки A и B симметричны относительно оси симметрии параболы, и обе касательные линии имеют одинаковый наклон (-1).