Question

1 Напишите уравнения касательных к графику функции у=2х²-х+3 проходящих через его точку 1) А(-1;6). 2)D (0:3) 2 найдите угол между касательными ,проведенными к графикам функции у=2х²-3 и у=2х²-х+3 в точку их пересечения

Answer 1

task/29847784

1 . Напишите уравнения касательных к графику функции у=2x²-x+3 проходящих через его точку    а)  А(-1 ; 6)  ,        б) D (0 : 3)  

решение. Уравнение касательной к графику  функции y =f(x)  в точке проходящей  через его точку M (x₀ ;  f(x₀) )  имеет вид y - f(x₀) = f '(x₀)*(x - x₀ ) иначе по другому  y =y '(x₀)*(x - x₀ )+ y₀

y '  =(2x²-x+3) ' = 4x -1 .

а) y₀ = 2*(-1)² - 1 + 3 = 4 ;   y ' (-1) = 4*(-1) -1 = - 5  ⇒  y = -5*(x +1)+4⇔ y = - 5x - 1 .

б) y₀ = 2*0² - 0 + 3 = 3 ;   y ' (-0) = 4*0 - 1 = - 1 ⇒  y = -1*(x -0) +3⇔ y = - x +3 .

2. найдите угол φ между касательными ,проведенными к графикам функции у=2x²-3 и у=2x²- x+3 в точку их пересечения

решение. Определим точку P(x₀;y₀) _пересечения графиков данных функций

{ у=2x²-3 ; у=2x²- x+3 .  2x²- 3 =2x² - x + 3  ⇔ x=6 ⇒ y =2*6² -3 =69. P(6 ; 69)

y ' = (2x²-3 )'  = 4x    ⇒       k₁ = tgα = 4x₀ =4*6  = 24  ;

y ' = (2x²- x +3 )'  = 4x -1 ⇒ k₂ =tgβ =4x₀-1  =4*6 -1= 23 .  

tqφ =(k₁ - k₂)/(1+k₁k₂) =1 / (1 +24*23)= 1/553 ⇒ φ =arctg(1/553) .

Answer 2

1. Чтобы найти уравнение касательной к графику функции у=2х²-х+3, проходящей через данную точку, нужно воспользоваться формулой для уравнения касательной в точке (x₀, y₀) функции y=f(x):

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀),

где f'(x₀) - значение производной функции f(x) в точке x₀.

Для функции у=2х²-х+3 первообразная будет f(x) = (2/3)x³ - (1/2)x² + 3x + C, где С - произвольная константа.

Найдем производную f'(x):

f'(x) = d/dx ((2/3)x³ - (1/2)x² + 3x + C) = 2x - 1.

Теперь найдем уравнение касательной в точке А(-1, 6):

y - 6 = f'(-1)(x + 1).

Подставим значение f'(-1):

y - 6 = 2*(-1) - 1,

y - 6 = -3,

y = -3 + 6,

y = 3.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции у=2х²-х+3, проходящей через точку А(-1, 6), имеет вид:

y = 3.

2. Найдем угол между касательными к графикам функций у=2х²-3 и у=2х²-х+3 в точке их пересечения. Чтобы найти точку пересечения, приравняем функции друг другу:

2х² - 3 = 2х² - х + 3.

При переносе всех членов уравнения влево получим:

х = 6.

Теперь найдем производные обеих функций:

Для у=2х²-3:

f'(x) = d/dx (2х² - 3) = 4x.

Для у=2х²-х+3:

g'(x) = d/dx (2х² - х + 3) = 4x - 1.

Теперь подставим х=6 в обе производные:

f'(6) = 4 * 6 = 24,

g'(6) = 4 * 6 - 1 = 23.

Угол между двумя касательными определяется как арктангенс разности их наклонов:

Угол = arctan | (f'(6) - g'(6)) / (1 + f'(6) * g'(6)) |.

Угол = arctan | (24 - 23) / (1 + 24 * 23) |.

Угол = arctan | 1 / 553 |.

Подсчитав это значение, получим угол между касательными в точке пересечения функций у=2х²-3 и у=2х²-х+3.